第4板块 大题专攻(三) “概率与统计”大题的思维建模（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(三)　“概率与统计”大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图表 (1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立等． (2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生等． (3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等． (4)分清是古典概型还是几何概型后再求概率． (5)会套用求，K2的公式，再作进一步求值与分析． (6)理解各图表所给信息，利用信息找出所要数据. [解题示范] [典例]　为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表： SO2 PM2.5 [0,50] (50,150] (150,475] [0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2 列联表： SO2 PM2.5 [0,150] (150,475] [0,75] (75,115] (3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [应用体验] 交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行；机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让．我们将符合这条规定的行为称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的行为称为“不礼让斑马线”．下表是某市一十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据： 月份x 1 2 3 4 5 “不礼让斑马线”的驾驶员人数y 120 105 100 85 90 (1)根据表中所给的5个月的数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； (2)求“不礼让斑马线”的驾驶员人数y关于月份x之间的线性回归方程； (3)若从4,5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率． 参考公式：线性回归方程＝x＋，其中＝＝，＝－，r＝. 解：(1)依题意＝3，＝100，iyi＝1 420，＝55，(xi－)(yi－)＝－80，(xi－)2(yi－)2＝7 500，所以r＝＝≈－0.924，因为|r|接近于1，所以y与x具有很强的线性相关关系． (2)因为＝＝＝－8，＝－＝100－(－8)×3＝124，所以y关于x之间的线性回归方程为＝－8x＋124. (3)从4月份选取的4人分别记为a1，a2，a3，a4，从5月份选取的2人分别记为B1，B2. 则从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，B1)，(a1，B2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，B1)，(a2，B2)，(a3，a4)，(a3，B1)，(a3，B2)，(a4，B1)，(a4，B2)，(B1，B2)，共15个， 其中“抽取的2人分别来自两个月份”包含的基本事件为(a1，B1)，(a1，B2)，(a2，B1)，(a2，B2)，(a3，B1)，(a3，B2)，(a4，B1)，(a4，B2)，共8个， 故所求概率为. 二微观优化解题细节：三招突破概率、统计大题的解题瓶颈 技法一　信息巧提取 [例1]　中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为正牌(优等品)、副牌(合格品)、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10 000刀(1刀＝100张)，该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示： x的范围 (44,48]∪(52,56] (48,52] [0,44]∪(56,60] 质量等级 副牌 正牌 废品 在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸利润为8元，废品的利润为－20元．　 (1)试估计该公司的年利润； (2)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示： x的范围 (－2，