第4板块 大题专攻(二) 概率与统计的综合问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　概率与统计的综合问题 　概率与统计相结合 [例1]　为学习中国共青团的发展历史，某校组织了1 000名高中同学进行共青团知识竞赛．成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在[40,50)∪[70,80)内的人数为400. (1)求出直方图中a，b，c的值； (2)估计中位数(精确到0.1)和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； (3)在区间[80,100]内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取的两人中恰好有1人得分在区间[90,100]内的概率． [解]　(1)因为a，b，c为等差数列，所以2b＝a＋c. 又(2a＋2b＋c＋0.03)×10＝1，故2a＋2b＋c＝0.07. 因为成绩落在[40,50)∪[70,80)内的人数为400， 所以(a＋0.03)×10＝， 解得a＝0.01，故b＝0.015，c＝0.02. (2)由频率分布直方图可得平均数为 45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5， 前3组的频率之和为0.1＋0.15＋0.2＝0.45， 前4组的频率之和为0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75， 故中位数在区间[70,80)中，设该数为x，则＝＝，故x＝70＋≈71.7. (3)在区间[80,90)，[90,100]的频率之比为0.15∶0.1＝3∶2， 故5人中分数在[80,90)内的有3人，记为m，n，p， 分数在[90,100]内的有2人，记为A，B. 从5人中随机抽取两人进行现场知识答辩，共有10种取法：{m，A}，{n，A}，{m，B}，{n，B}，{p，A}，{p，B}，{m，n}，{m，p}，{p，n}，{A，B}． 设事件C表示“两人中恰好有1人得分在区间[90,100]内”，则C中的基本事件为{m，A}，{n，A}，{m，B}，{n，B}，{p，A}，{p，B}，共6个， 故P(C)＝＝. [提分技巧] (1)概率与统计的综合问题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算． (2)在求解该类问题时要注意两点： ①明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率． ②此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成．　　 [对点训练] 1．某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，将他们的测试数据用茎叶图表示如下： 《国家学生体质健康标准》的等级标准如下表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格. 等级 优秀 良好 及格 不及格 测试数据 [90,100] [80,89] [60,79] [0,59] (1)从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率； (2)从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率； (3)设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为1，s，高二学生测试数据的平均数和方差分别为2，s，试比较1与2，s与s的大小．(只需写出结论) 解：(1)由茎叶图可知高二学生样本中体质健康合格的人数为3＋4＋4＋4＝15， 故样本中学生体质健康合格的频率为＝， 故从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，估计这名学生体质健康合格的概率为. (2)设高一年级样本中测试数据为93,94,96的3名学生分别为a1，a2，a3， 高二年级样本中测试数据为90,95,98的3名学生分别为b1，b2，b3. 选取的两名学生构成的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，共9个． 其中两名学生的测试数据平均数大于95的有(a1，b3)，(a2，b3)，(a3，b2)，(a3，b3)，共4个． 故选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为. (3)由茎叶图中相应分数段内数据可看出高一学生测试数据的平均数要大于高二学生测试数据的平均数． 高一学生的测试数据比高二学生的测试数据更为集中，因此高一学生测试数据的方差要小于高二学生测试数据的方差． 故1>2，s<s. 　概率与统计案例相结合 [例2]　信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，