第3板块 大题专攻(一) “立体几何”大题的考法研究（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　“立体几何”大题的考法研究 　立体几何中平行、垂直关系的证明 [例1]　(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO. (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P-ABC的体积． [解]　(1)证明：因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，O是BC的中点，所以＝＝， 所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB. 记BF⊥AO的垂足为H，则△BHA∽△OBA， 所以∠HBA＝∠AOB. 所以∠HBA＝∠CAB，所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，所以CF＝BF， 故CF＝AF，F是AC的中点． 因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC. 因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC， 所以EF∥DO. 又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO， 所以EF∥平面ADO. (2)由(1)得FO∥AB， 因为AB⊥BC，所以FO⊥BC. 又PO⊥BC， 所以∠POF是二面角P-BC-F的平面角， 所以二面角P-BC-F的大小为120°. 如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，MB， 则∠POM是二面角P-BC-M的平面角， 所以∠POM＝60°. 在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2，得PO＝2，所以PM＝. 所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC＝S△ABC×PM＝××2×2×＝. [提分技巧] 空间平行、垂直关系的转化 证明空间平行、垂直关系的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化． [对点训练] 1.如图，△ABC的外接圆O的直径AB＝2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，CE＝2，BC＝1. (1)求证：平面AEC⊥平面BCED； (2)若DM＝DE，求三棱锥D-ACM的体积． 解：(1)证明：∵△ABC的外接圆O的直径为AB， ∴AC⊥BC. 又∵EC⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴EC⊥BC， 又∵AC∩EC＝C，AC⊂平面ACE，EC⊂平面ACE， ∴BC⊥平面ACE，又BC⊂平面BCED, ∴平面AEC⊥平面BCED. (2)连接CM，CD，∵DM＝DE， ∴VD-ACM＝VE-ACM＝VM-ACE， ∵平面AEC⊥平面BCED， 过M作MN垂直于CE，交CE于N，则MN∥BC， 由(1)知BC⊥平面ACE，故MN⊥平面ACE， 则MN为锥体M-ACE的高， 且MN＝BC＝， ∴VM-ACE＝×××2×＝， ∴VD-ACM＝. 2.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，AA1＝4，点E为棱AA1的中点． (1)求证：BE⊥平面EB1C1； (2)求点A到平面CEB1的距离． 解：(1)证明：由已知可得B1C1⊥平面ABB1A1，且BE⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE， 在△B1BE中，B1B＝4，BE＝B1E＝2，所以B1B2＝BE2＋B1E2，所以BE⊥B1E. 又因为B1C1∩B1E＝B1，B1C1，B1E⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1. (2)法一：取CB1的中点F，BC的中点P，连接EF，AP，PF，PB1，PE， 可得AE∥PF，且AE＝PF，则四边形APFE为平行四边形，可得AP∥EF， 又因为AP⊄平面CEB1，EF⊂平面CEB1，所以AP∥平面CEB1， 所以点A到平面CEB1的距离等于点P到平面CEB1的距离，易知VP-CEB1＝VE-PCB1， 在△CEB1中，CE＝＝2，EB1＝＝2，CB1＝ ＝2， 所以CE2＋EB＝CB，从而△CEB1为直角三角形． 设点P到平面CEB1的距离为dP， 所以×S△CEB1×dP＝×S△PCB1×AB， 即××2×2×dP＝××1×4×2，解得dP＝，所以点A到平面CEB1的距离为. 法二　等体积法： 设点A到平面CEB1的距离为h， 因为B1E＝2，B1C＝2，CE＝2，所以△CEB1是直角三角形，S△CEB1＝2，S△AEB1＝2， 而VA-CEB1＝VC-AEB1，可得h×2＝×2×2，解得h＝，所以点A到平面CEB1的距离为. 　立体几何中的翻折问题 [例2]　已知边长为2的等边△ABC(图1)，点D和点E分别是边AC，AB上的中点，将△ADE沿直线DE折到△A′DE的位置，使得平面A′DE⊥平面BCDE，点O和点P分别是边DE，BE的中点(图2)． (1)证明：CD⊥平面A′OP； (2)求三棱锥C-A′OP的体积． [解题微“点”] 切入点 (1)连接BD，由三角形的中位线性质和等边三角形的性质及线面垂直的判定定理证明 (2)由中位线性质及余弦定理分别求