第3板块 大题专攻(二) “立体几何”大题的思维建模（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　“立体几何”大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：立体几何问题重在“转”——转化、转换 　　立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是转化、转换． 转化——空间平行关系间的转化、垂直关系间的转化、平行与垂直关系间的转化以及平面几何与立体几何的转化等． 转换——对几何体的体积、锥体体积顶点的转换，多面体体积多分割转换为几个规则几何体的体积和或体积差来求解，求体积时距离与体积计算的转换等. [解题示范] [典例]　(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积． [关键点拨] 解答立体几何问题，应具备以下4点思维 (1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形问题加以解决，因此要注意平面几何知识在解题中的灵活运用．例如，证线线平行可以利用三角形、梯形的中位线性质定理，还可以利用比例关系；证线线垂直可以利用菱形、正方形的对角线互相垂直，还可以利用勾股定理的逆定理． (2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于大多数问题主要考查的是有关判定定理在证题中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判定定理去寻找证题思路． (3)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，若对应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其他的证题思路．例如，要证明线面平行，可以先证面面平行，再利用面面平行的性质；要证明线面垂直，可以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质． (4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要考虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想等在解题中的灵活运用． [应用体验] 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是棱AC的中点． (1)求证：AB1∥平面BC1M； (2)设AB＝2，AA1＝，求点A1到平面BC1M的距离． 解：(1)证明：如图，连接B1C交BC1于O，连接OM， 根据正三棱柱的性质得O为B1C的中点， ∵M是棱AC的中点， ∴OM∥AB1， 又OM⊂平面BC1M，AB1⊄平面BC1M， ∴AB1∥平面BC1M. (2)∵在正三棱柱中，AA1⊥平面ABC， BM⊂平面ABC， ∴AA1⊥BM， 又∵在正三角形ABC中，M是AC的中点， ∴AC⊥BM， ∵AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C1C， AC⊂平面AA1C1C， ∴BM⊥平面AA1C1C. 设点A1到平面BC1M的距离为h， 根据等体积法有VA1-BC1M＝VB-A1C1M， 即S△BC1M·h＝S△A1C1M·BM， ∴h＝＝＝. 故点A1到平面BC1M的距离为. 二微观优化解题细节：提升四大能力，突破立体几何中的解题障碍点 能力一　提高识图、作图能力 识图、作图能力是学好立体几何应具备的重要能力之一，学生的识图、作图能力弱主要集中在作图问题、球问题的直观呈现和转化、展折问题的图形分析等．要提高识图、作图能力，需要理解作图的原理，在此基础上，培养模型意识和动手能力． [例1]　已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　 ) A. B. C. D. [解题观摩]　由球的定义可知，球心O为SC的中点．如图，设△ABC的中心为M，则有OM⊥平面ABC， 且OM＝ ＝， 所以三棱锥的高h＝2OM＝，所以此棱锥的体积为××12××＝.故选A. [反思领悟]　本题往往会因为对直径认识不足(球心O为SC的中点)，而纠结如何作图(球内接三棱锥S-ABC)，不懂得对问题进行转化(VS-ABC＝2VO-ABC)，只有正确理解才能把问题转化为三棱锥O-ABC，再结合球的定义即可解决． [例2]　平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　 ) A. B. C. D. [解题观摩]　因为α∥平面CB1D1，且平面α过顶点A，故问题相当于把平面CB1D1“外移”． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的左侧补上一个全等的正方体，则平面CB1D1“外移”到平面AB2D2(即平面α)， 则α∩平面ABCD＝AD2，α∩平面ABB1A1＝AB2， 又△AB2D2为等边三角形，则直线m，n所成角为60°，其正弦值为.故选A. [反思领悟]　解答本题的最大障碍是不会过顶点A作出平面α，解决的方法是通过“补体”快速实现把平面CB1D1“外移”，观察和作出平行线是本题作图的关键，常用的方法有利用中位线或平行四边形的性质