第2板块 小题考法 等差数列与等比数列（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

第二板块|数 列 明明白白知高考 从近几年的高考试题来看，对数列的考查较为稳定，考查难度以中档为主，有时小题可能作为压轴题出现． 1．从题型题量上看：本板块在全国卷中主要有两种考查方式：一是考两道小题，二是考一道解答题(与解三角形轮考，一般出现在17题位置)． 2．从考查内容上看：高考数学试题对数列的考查主要集中在以下考点：(1)项与和的关系；(2)等差、等比数列的概念与性质；(3)等差、等比数列的通项公式、前n项和公式；(4)由递推公式求数列的通项公式；(5)数列求和(裂项相消法、分组转化法、错位相减法)． 融会贯通串知识 一、主干知识·以点带面 主干 知识点 两个 定义 (1)等差数列：an＋1－an＝d(常数)； (2)等比数列：＝q(常数) 两种证明方法 (1)定义法：等差数列⇔an＋1－an＝d； 等比数列：＝q. (2)等差(比)中项法：等差数列⇔2an＝an＋1＋an－1；等比数列⇔a＝an＋1·an－1 四组基本公式 (1)等差数列的通项公式： an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)等差数列的前n项和公式： Sn＝na1＋＝. (3)等比数列的通项公式： an＝a1qn－1＝amqn－m(n，m∈N*)． (4)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 二、常用结论·记清用活 1．等差、等比数列的性质 (1)等差数列的常用性质： ①若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. ②数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等差数列，其公差为n2d. (2)等比数列的常用性质： ①若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. ②当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 2．求通项公式的四种常用方法 (1)由Sn求an：an＝ (2)累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1. (3)累乘法：an＝··…··a1. (4)构造法：形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，可化为an＋1＋＝p的形式，an＋1＝(p≠0)可化为－＝的形式． 3．数列求和的四种常用方法 (1)公式法． (2)分组求和法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，分别求和后再相加减． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (4)错位相减法：若一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，则这个数列的前n项和可用错位相减法求解． 4．如果数列{an}成等比数列，且an>0，那么数列{logaan}(a>0且a≠1)必成等差数列． 5．如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数列；数列{an}是常数列是数列{an}既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件． 6．如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数． 7．如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，从而分析构成什么样的新数列． 8．关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. (2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. 9．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 三、易错易误·注意防范 1．忽略公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，n∈N*. 2．a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，因此在判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0. 3．应用等比数列的前n项和公式时，应注意条件是否暗示了q的范围，否则，应注意讨论． 4．等差数列的单调性只取决于公差d的正负，等比数列的单调性既要考虑公比q又要考虑首项． 小题考法　等差数列与等比数列 　等差数列、等比数列的基本运算 1．已知公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝a，则a10＝(　 ) A. B．5 C．10 D．40 解析：选A　设数列公差为d，则由已知得由于d≠0，故解得a1＝d＝，所以a10＝＋×9＝.故选A. 2．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　 ) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：选D　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得 即解得所以a6＝a1q