第2板块 大题专攻(一) “数列”大题的考法研究（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　“数列”大题的考法研究 　等差、等比数列的基本运算 [例1]　已知正项等比数列{an}和其前n项和Sn满足a5－a1＝2S4，a2·a3＝a4. (1)求{an}的通项公式； (2)在am和am＋1之间插入m个数，使得这m＋2个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为bm，求满足bm>50的正整数m的最小值． [解]　(1)依题意，设等比数列{an}的公比为q，则q>0，an≠0， 因为a2·a3＝a4，所以a1q·a1q2＝a1q3，解得a1＝1或a1＝0(舍去)．因为a5－a1＝2S4，所以a1q4－a1＝2×，即q4－1＝2×，解得q＝3或q＝－1(舍去)，所以an＝3n－1. (2)由题意可得，bm＝＝＝，则bm＋1－bm＝－＝>0，故数列{bn}单调递增，不难发现b5＝＝27<50，b6＝＝>50，故满足题意的m的最小值为6. [提分技巧] 等差、等比数列的基本量的求解策略 (1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序． (2)注意细节．例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等． [对点训练] 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2n＋1，证明：n>2时，an－bn>0. 解：(1)因为an＋1＝2Sn＋2，所以n≥2时，an＝2Sn－1＋2.所以an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an.所以an＋1＝3an(n≥2)．因为a2＝2S1＋2＝2a1＋2， 又an为等比数列，所以a2＝3a1.所以a1＝2.则等比数列{an}的首项为2，公比为3， 所以an＝2·3n－1. (2)证明：要证n>2时，an－bn>0，即证n>2时，2·3n－1>2n＋1， 需证n>2时，n－1>2，因为n>2且n∈N*，则n≥3，n－1≥2，所以n－1≥>2，原不等式成立． 　等差数列、等比数列的判定与证明 [例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋Sn＝－.从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列{an}的通项公式． ①数列{2nan}是等差数列； ②数列是等比数列． [解]　若选①数列{2nan}是等差数列， ∵an＋Sn＝－，∴an＋1＋Sn＋1＝－， ∴两式相减得an＋1－an＋an＋1＝， 即2an＋1－an＝. ∴2n＋1an＋1－2nan＝1且a1＝－， ∴{2nan}是首项为－1，公差为1的等差数列． ∴2nan＝－1＋(n－1)·1＝n－2，即an＝. 若选②数列是等比数列， ∵an＋Sn＝－，∴an＋1＋Sn＋1＝－， ∴两式相减得an＋1－an＋an＋1＝， 即2an＋1－an＝. ∴2an＋1－an＝， 整理得2＝an－.∵a1－＝－1≠0， ∴是等比数列且首项为－1，公比为. ∴an－＝－n－1，即an＝. [提分技巧] 证明(或判断)数列是等差(比)数列的4种基本方法 定义法 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；＝q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列 等差(比)中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇒{an}是等差数列；a＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇒{an}是等差数列；an＝a1·qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇒{an}是等比数列 前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇒{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A为非零常数，q≠0,1)⇒{an}是等比数列 [对点训练] 2．(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列． (2)求{an}的通项公式． 解：(1)证明：由＋＝2， 得bn＝＝＋， 亦可得2＋＝2Sn＝2＋(n≥2)， 即bn－1＝(n≥2)，所以bn－bn－1＝. 由＋＝2，可得b1＝. 所以{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)＝1＋， 所以Sn＝＝＝(n≥2)． 当n＝1时，S1＝b1＝，满足上式，所以Sn＝. 所以an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2)． 当n＝1时，a1＝S1＝b1＝≠－， 所以an＝n∈N*. 　数列求和 方法1　分组转化法求和 [例3]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (