第1板块 小题考法(二) 三角恒等变换、解三角形（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(二)　三角恒等变换、解三角形 　三角恒等变换 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选B　因为所以sin αcos β＝，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝，故选B. 2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝2.又α为锐角，所以sin＞0.所以sin＝，故选D. 3．已知sin＋cos α＝，则sin＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选D　sin＋cos α＝，∴sin αcos－cos αsin＋cos α＝sin α＋cos α＝，∴cos＝，∴sin＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×2－1＝－. 4．(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　 ) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 解析：选C　由题意，得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C. 5．已知β∈，sin β＝，若3sin(α＋2β)＝sin α，则tan(α＋β)＝________. 解析：因为β∈，sin β＝，sin2β＋cos2β＝1，解得cos β＝－，所以tan β＝－，sin 2β＝－，cos 2β＝.又3sin(α＋2β)＝3sin αcos 2β＋3cos αsin 2β＝3××sin α＋3××cos α＝sin α－cos α＝sin α，所以sin α＝cos α，tan α＝. 所以tan(α＋β)＝＝＝. 答案： [提分技巧] 三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 　利用正、余弦定理解三角形 [讲评提能] [例1]　(1)(2023·济宁二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，A＝，则cos C＝(　 ) A. B. C. D. (2)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　 ) A. B. C. D. [解析]　(1)如图，AB边上的高为CD，因为A＝，所以AD＝2c,2c＝bsin，所以BD＝c，b＝2c.在Rt△BDC中，由勾股定理可得BC＝＝c.在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ACB＝＝. (2)因为acos B－bcos A＝c，所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A)，则2sin Bcos A＝0.在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝，故选C. [答案]　(1)B　(2)C [提分技巧] 正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． [提醒]　应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”． [过关训练] 1．在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若2bsin A＝a，则B＝(　 ) A. B.或 C. D.或 解析：选D　因为在△ABC中，2bsin A＝a，所以2sin Bsin A＝sin A，因为sin A≠0，所以sin B＝，又B∈(0，π)，所以B＝或B＝.故选D. 2．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________. 解析：设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠