第1板块 大题专攻(一) “解三角形”大题的考法研究（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　“解三角形”大题的考法研究 　利用正、余弦定理求边或角 [例1]　(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积． [解]　(1)由余弦定理知cos A＝， 代入＝2，得2bc＝2， 故bc＝1. (2)由正弦定理及－＝1， 得－＝1， 化简得－＝1. ∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C， ∴sin(A－B)－sin B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B－sin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴－2cos Asin B＝sin B. ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－. ∵A∈(0，π)，∴sin A＝＝. 由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×＝. [提分技巧] 应用正、余弦定理解题的技巧 (1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解． (3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解． (4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．　　 [对点训练] 1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin ∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 解：(1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos∠BAC＝22＋12＋2×2×1×＝7，得BC＝. 由正弦定理＝， 得sin∠ABC＝＝. (2)由sin∠ABC＝，得tan∠ABC＝， 又tan∠ABC＝＝，所以DA＝， 故△ADC的面积为DA·AC·sin(120°－90°)＝××1×＝. 2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin＝asin B. (1)求角A的大小； (2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状． 解：(1)∵bsin＝asin B，由诱导公式得bcos A＝asin B， 由正弦定理得sin Bcos A＝sin Asin B， ∵sin B≠0，∴cos A＝sin A，∴tan A＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc. 又cos A＝＝＝， 即b2＋c2－bc＝bc，所以(b－c)2＝0，∴b＝c. 又∵A＝，∴△ABC为等边三角形． 　与解三角形有关的最值、范围问题 [例2]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足asin(B＋C)＝(b－c)sin B＋csin C. (1)求A； (2)若D在BC上，a＝2，且AD⊥BC，求AD的最大值． [解]　(1)由asin(B＋C)＝(b－c)sin B＋csin C，得asin A＝(b－c)sin B＋csin C， 根据正弦定理可得，a2＝(b－c)b＋c2＝b2＋c2－bc， 根据余弦定理可得，cos A＝＝＝.又A∈(0，π)，故A＝. (2)由(1)知，b2＋c2－bc＝a2＝4≥2bc－bc＝bc，故bc≤4， 于是S△ABC＝bcsin A＝bc≤，当且仅当b＝c＝2时取得等号． 又S△ABC＝×a×AD＝AD≤， 故AD的最大值为. [提分技巧] 运用正、余弦定理求与三角形有关量的最值、取值范围问题，一般用正弦定理将所求的量转化为关于某一个角的三角函数，求该三角函数的最值与取值范围，或转化为关于边的等式、函数、不等式，再用基本不等式或函数的单调性等来处理．破解此类题通常有以下方法： 构建目标 不等式 根据题干中得出的等量关系，如相等角、互补角，巧妙运用余弦定理构建等式或用正弦定理转化为边的关系，然后借助不等式知识求最值或范围；或用余弦定理搭桥，实现两个基本量的和与积，平方和与积等的转化 构建目标 函数 用正弦定理表示边角关系，通过消元、两角和公式、倍角公式、辅助角公式等建立关于角的函数关系式，再把问题转化为已知角的范围，求三角函数最值或值域问题 [对点训练] 3．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝. (1)求b的值； (2)若cos B＋sin B＝2，求△ABC周长的取值范围． 解：(1)在△ABC中，∵＋＝， ∴＋＝， ∴＝，解得b＝. (2)∵cos B＋sin B＝2sin＝2， ∴sin＝1 ，∵0＜B＜π，∴＜B＋＜， ∴ B＋＝，∴B＝. 由正弦定理得＝＝＝＝1， ∴a＝sin A，c＝sin C. 由A＋B＋C＝π得A＋C＝， ∴C