第1板块 大题专攻(二) “解三角形”大题的思维建模（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　“解三角形”大题的思维建模 一 尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感．突破此难点的关键在于“变”——变角与变式，从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等．从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等． [解题示范] [典例]　2022·新课标Ⅰ卷记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. 1若C＝，求B； 2求的最小值. [关键点拨] 1．利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 2．解三角形中的注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． (2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A<π，b－c<a<b＋c，三角形中大边对大角等． (3)注意挖掘特殊关系量，如： ①已知两角A，B与一边a， 由A＋B＋C＝π及＝＝，可求出角C，再求b，c； ②已知两边b，c与其夹角A， 由a2＝b2＋c2－2bccos A，求出a，再由余弦定理，求出角B，C； ③已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C. [应用体验] (2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝2××1×DC×＝， 解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4. 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝. 法一：在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝. 在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝， 所以sin B＝＝. 法二：在△ABD中，由正弦定理，得＝， 所以sin B＝＝. 所以cos B＝＝. 所以tan B＝＝. (2)因为D为BC的中点，所以BC＝2BD. 在△ABD与△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝， 整理，得2BD2＝b2＋c2－2＝6， 得BD＝，所以a＝2. 在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－， 所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝bc＝bc＝ ＝，解得bc＝4. 则由解得b＝c＝2. 二微观优化解题细节：解三角形必须具备的三个意识 “解三角形”的总体难度适中，入手比较容易，但在具体解决问题时，学生易出现“会而不对，对而不全”的情况．主要表现：公式记忆不准确；在三角函数公式变形中转化不当，导致后续求解复杂或运算错误；忽视三角形中的隐含条件，求边、角时忽略其范围等．基于以上误区，解决此类问题要强化以下三个意识． 意识一　边角互化 [例1]　a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边．已知2asin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C－sin B)c. (1)求A； (2)若c＝2，试问b的值是否可能为5？若可能，求△ABC的周长；若不可能，请说明理由． [解题观摩]　(1)因为2asin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C－sin B)c， 由正弦定理可得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即a2＝b2＋c2－bc.⇨ 再由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)假设b＝5，则由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝19， 所以cos B＝＝＜0，⇨ 所以B为钝角，这与△ABC为锐角三角形矛盾，故b的值不可能为5. [反思领悟] 正弦定理、余弦定理应用的主要功能是实现三角形中的边角互化．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的齐次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理是否都要应用．正弦定理、余弦定理的灵活应用需深入领会化归与转化思想，需要在解题中多归纳、多总结，抽象概括，总结方法规律． 涉及应用正弦定理、余弦定理的还有一种题型是判断三角形的形状，通常从两个方向进行变形：一个方向是边，考虑代数变形，通常正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，考虑三角变形，通常运用正弦定理． 意识二　函数与方程思想的应用 [例2]