第6板块 小题考法(三) 利用导数研究函数的性质（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(三)　利用导数研究函数的性质 　导数的几何意义 1．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　 ) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 解析：选C　由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝y′|x＝1＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋，故选C. 2．函数f(x)＝x3－x2＋2x－1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为(　 ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：选D　f′(x)＝3x2－2x＋2，故f′(1)＝3，又f(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝3(x－1)＋1＝3x－2.令x＝0，则y＝－2，故切线的纵截距为－2.故选D. 3．已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x－e1－x，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为(　 ) A．y－e2＋1＝0 B．y＋1＝0 C．(e2－1)x－y＋e2－2＝0 D．2x＋y＋3＝0 解析：选D　因为f(x)为偶函数，设x<0，则－x>0，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)－e1＋x，所以f(－1)＝－1.因为当x<0时，f′(x)＝－e1＋x，所以f′(－1)＝－2，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y＋1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋3＝0. 故选D. 4．(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________________________________________________________． 解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) [提分技巧] (1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标． (2)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同． 　利用导数研究函数的单调性 [讲评提能] 角度1　利用函数的单调性求参数 [例1]　(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． [解析]　由题意得当x>0时，f′(x)＝axln a＋(1＋a)xln(1＋a)＝ax≥0.设g(x)＝ln a＋xln(1＋a)，因为ax>0，所以g(x)≥0. 因为a∈(0,1)，所以ln(1＋a)>0，＋1>2.所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．故只需满足g(0)≥0，即ln a＋ln(1＋a)＝ln(a＋a2)≥0，所以a＋a2≥1，解得a≤－或a≥.又0<a<1，所以a的取值范围为. [答案]　 角度2　利用函数单调性解不等式 [例2]　定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，其导函数为f′(x)，对任意正实数x恒有xf′(x)>2f(－x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(log3(x2－1))＋g(－1)<0的解集是(　 ) A．(0,2) B．(－2,2) C．(－，2) D．(－2，－1)∪(1,2) [解题微“点”] 切入点 由f(x)是定义在R上的奇函数，得g(x)为奇函数，又当x>0时，xf′(x)>2f(－x)＝－2f(x)，得g(x)为R上的增函数，再由g(log3(x2－1))＋g(－1)<0得g(log3(x2－1))<g(1)，利用单调性可得答案 隐藏点 解题时注意利用函数的奇偶性进行转化，然后利用单调性脱去“f”号后解不等式 [解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以当x∈R时，有g(－x)＝x2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)． 所以g(x)为奇函数，且对于任意正实数x，有xf′(x)>2f(－x)＝－2f(x)，即xf′(x)＋2f(x)>0， 所以x>0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]>0. 所以x>0时，g(x)＝x2f(x)是增函数．又因为g(x)为奇函数，所以g(x)为R上的增函数． 由g(log3(x2－1))＋g(－1)<0得g(log3(x2－1))<－g(－1)＝g(1)， 所以log