第6板块 大题专攻(一) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题 　利用导数研究函数的单调性 角度1　讨论函数的单调性(或区间) [例1]　(2022·北京高考，节选)已知函数f(x)＝exln(1＋x)． (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)设g(x)＝f′(x)，讨论函数g(x)在[0，＋∞)上的单调性． [解]　(1)由题意，得f′(x)＝ex·ln(1＋x)＋ex·＝ex， 故f′(0)＝e0·＝1， f(0)＝e0ln(1＋0)＝0， 因此，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x. (2)法一：g(x)＝f′(x)＝ex， 则g′(x)＝ex， 设h(x)＝ln(1＋x)＋－，x∈[0，＋∞)， 则h′(x)＝－＋＝>0， 故h(x)在[0，＋∞)上单调递增， 故h(x)≥h(0)＝1>0， 因此g′(x)>0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立， 故g(x)在[0，＋∞)上单调递增． 法二：g(x)＝f′(x)＝ex， 则g′(x)＝ex， 又ex>0，当x∈[0，＋∞)时，ln(1＋x)＋－>ln 1＋>0， 故g′(x)>0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立， 故g(x)在[0，＋∞)上单调递增． [提分技巧] 利用导数求函数的单调区间的三种方法 (1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间． (3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时，求导数并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间． 角度2　根据函数的单调性求参数的取值范围 [例2]　(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． (2)若函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝ln(1＋x)，f′(x)＝－ln(1＋x)＋·， 所以f′(1)＝－ln 2. 又f(1)＝0，所以点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－(x－1)ln 2，即xln 2＋y－ln 2＝0. (2)由题意得f′(x)＝－ln(1＋x)＋·≥0(x>0)，即≥0(x>0)，因为x2(1＋x)>0，所以只需满足ax2＋x－(1＋x)ln(1＋x)≥0(x>0)． 设g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln(1＋x)， 则g′(x)＝2ax＋1－ln(1＋x)－1＝2ax－ln(1＋x)． 若a≤0，则g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是在(0，＋∞)上g(x)<g(0)＝0，不满足题意． 若a>0，设h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2a－，h′(0)＝2a－1. ①若0<a<，则h′(0)＝2a－1<0，令h′(x)＝0，得x＝－1，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当0<x<－1时，h′(x)<0，当x>－1时，h′(x)>0， 所以h(x)即g′(x)在上单调递减，在上单调递增，于是当0<x<－1时，g′(x)<g′(0)＝0，即g(x)在上单调递减，g(x)<g(0)＝0，不符合题意； ②若a≥，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝2a－1≥0，所以h(x)即g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g′(x)>g′(0)＝0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝0，满足题意． 综上所述，a的取值范围为. [提分技巧] (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围． (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解． [对点训练] 1．已知函数f(x)＝x2－aln x. (1)若函数f(x)在点(3，f(3))处切线的斜率为4，求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若函数g(x)＝ln x－f(x)－2x在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝2x－，而f′(3)＝4，即2×3－＝4，解得a＝6. (2)函数f