第6板块 大题专攻(五) “函数与导数”压轴大题的思维建模（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(五)　“函数与导数”压轴大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：函数与导数问题重在“分”——分离、分解 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论，不等式的证明等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，最后根据题意处理． [解题示范] [典例]　(2023·新课标Ⅱ卷)(1)证明：当0＜x＜1时，x－x2＜sin x＜x； (2)已知函数f(x)＝cos ax－ln(1－x2)，若x＝0是f(x)的极大值点，求a的取值范围． [应用体验] 设函数f(x)＝ex－ax，x≥0且a∈R. (1)求函数f(x)的单调性； (2)若f(x)≥x2＋1恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝ex－a，x≥0. 当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，x∈[0，ln a]时，f′(x)≤0，则f(x)在[0，ln a]上单调递减； x∈[ln a，＋∞)时，f′(x)≥0，则f(x)在[ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤1时，f(x)在[0，＋∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在[0，ln a]上单调递减，在[ln a，＋∞)上单调递增． (2)当x≥0时，ex－ax≥x2＋1恒成立，则 当x＝0时，1≥1，显然成立，符合题意； 当x>0时，得a≤恒成立， 即a≤min，记g(x)＝，x>0， 则g′(x)＝， 构造函数y＝ex－x－1，x>0，则y′＝ex－1>0， 故y＝ex－x－1为增函数， 则ex－x－1>e0－0－1＝0. 故ex－x－1>0对任意x>0恒成立，则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝e－2. 所以a≤e－2，即实数a的取值范围是(－∞，e－2]． 二微观优化解题细节：有关x与ex，ln x的组合函数的解题技法 有关x与ex，ln x的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等．熟悉与x，ex，ln x有关的函数图象特征，在解答相关问题时做到“有形可寻”，对解题大有帮助. 有关x与ex组合的常见函数的大致图象 有关x与ln x组合的常见函数的大致图象 有关x与ex，ln x组合的函数的大致图象 技法一　对数独行侠，指数找朋友 设f(x)为可导函数，则有[ex－f(x)]′＝ex－f′(x)．若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ex，针对此类型，可以采用作商的方法，构造′＝，从而达到简化证明和求最值的目的，ex总在找属于它的朋友，这个方法就叫做指数找朋友． 设f(x)为可导函数，则有[f(x)·ln x]′＝f′(x)·ln x＋f(x)·.若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ln x，这类问题需要多次求导，显得烦琐复杂．处理这类函数的技巧是将ln x单独分离出来，就留下ln x，然后研究剩余部分． [例1]　已知函数f(x)＝ex－ax2，若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1. [解题观摩]　法一：对数独行侠 当a＝1时，f(x)＝ex－x2， 令ex＝t(t≥1)， 则原不等式等价于ln t≤(t≥1)． 构造函数g(t)＝ln t－， 则g′(t)＝－＝ ＝≤0， 所以g(t)在[1，＋∞)上单调递减， 所以g(t)≤g(1)＝0，即ln t≤ ， 所以原不等式得证． 法二：指数找朋友 当a＝1时，f(x)＝ex－x2， 由不等式f(x)≥1，得x2＋1≤ex. 构造函数g(x)＝， 则g′(x)＝＝≤0， 所以g(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(0)＝1，又因为ex>0，所以x2＋1≤ex， 故原不等式得证． [反思领悟] 由指数函数和对数函数的导数及运算法则，不难知道： (1)[f(x)e－x]′＝0⇔[f′(x)－f(x)]e－x＝0⇔f′(x)－f(x)＝0； (2)[f(x)ex]′＝0⇔[f′(x)＋f(x)]ex＝0⇔f′(x)＋f(x)＝0； (3)[ln x－f(x)]′＝0⇔－f′(x)＝0. 技法二　分离ln x与ex [例2]　已知函数f(x)＝ax2－xln x. (1)若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)若a＝e(e为自然对数的底数)，证明：当x>0时，f(x)<xex＋. [解题观摩]　(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)． 对f(x)求导，得f′(x)＝2