第6板块 大题专攻(二) 利用导数研究不等式问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　利用导数研究不等式问题 　不等式的证明 [例1]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a＞0时，f(x)＞2ln a＋. [解]　(1)f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＜0， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时，令f′(x)>0，得x＞－ln a，令f′(x)＜0，得x＜－ln a， 所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)证明：由(1)得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a. 令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－＝a2－ln a－，a∈(0，＋∞)， 所以g′(a)＝2a－.令g′(a)＞0，得a＞； 令g′(a)＜0，得0＜a＜. 所以函数g(a)在上单调递减，在上单调递增． 所以函数g(a)的最小值为g＝2－ln －＝ln ＞0， 所以当a＞0时，f(x)＞2ln a＋成立． [提分技巧] 构造函数法证明不等式 (1)移项，使等式右边为零，左边构造为新函数． (2)求导判断单调性，通常要对参数分类讨论． (3)根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证． [对点训练] 1．已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x(a≠0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＜0时，证明：f(x)≤－－1. 解：(1)由f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝. 若a＜0，由f′(x)＝0得x＝－，当x∈时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0， 故函数f(x)在上单调递增， 在上单调递减； 若a＞0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0恒成立， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 综上，当a＜0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：由(1)知当a＜0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－－. 要证f(x)≤－－1，即证ln－－≤－－1，即证ln＋＋≤0， 令t＝－，因为a＜0，所以t＞0，则只需证明(ln t－t＋1)≤0. 令g(t)＝ln t－t＋1，t＞0，则g′(t)＝－1＝， 当t∈(0,1)时，g′(t)＞0，当t∈(1，＋∞)时，g′(t)＜0， 故g(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(t)≤g(1)＝0，故g(t)≤0， 即(ln t－t＋1)≤0.因此当a＜0时，f(x)≤－－1. 　不等式恒成立问题 [例2]　(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈. (1)当a＝8时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)<sin 2x，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝8时， f(x)＝8x－， f′(x)＝8－＝8＋－. 令＝t，则t∈(1，＋∞)， 令h(t)＝－3t2＋2t＋8＝－(3t＋4)(t－2)， 当t∈(1,2)时，h(t)>0； 当t∈(2，＋∞)时，h(t)<0. 故当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． ∴f(x)在区间上单调递增， 在区间上单调递减． (2)令g(x)＝f(x)－sin 2x＝ax－－sin 2x， 则g′(x)＝a－－2cos 2x ＝a－－4cos2x＋2 ＝a－， 令u＝cos2x，则u∈(0,1)， 令k(u)＝＋4u－2， 则k′(u)＝＋4＝. 当u∈(0,1)时，k′(u)<0， ∴k(u)在(0,1)上单调递减． ∵k(1)＝3，∴当u∈(0,1)时，k(u)>3， ∴k(u)的值域为(3，＋∞)． ①当a≤3时，g′(x)<0，∴g(x)在上单调递减． 又g(0)＝0，∴当x∈时，g(x)<0， 即f(x)<sin 2x. ②当a>3时，∃x0∈使得g′(x0)＝0， ∴g(x)在(0，x0)上单调递增，在上单调递减． ∴g(x0)>g(0)＝0，∴f(x)<sin 2x不成立． 综上所述，a的取值范围为(－∞，3]． [提分技巧]　不等式恒成立问题的解题关键点 [对点训练] 2．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)． (1)若不等式f(x)>恒成立，求实数x的取值范围； (2)若不等式f(x)<ax＋－aln 2在x∈(ln 2, ＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1) f(