第5板块 大题专攻(一) 直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题 　直线与圆锥曲线的位置关系的简单应用 [例1]　(2023·天津高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1. (1)求椭圆的方程和离心率e； (2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程． [解]　(1)如图，由题意可知 故则b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的方程为＋＝1， 此椭圆的离心率e＝＝. (2)由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k(x－2)．由 可得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0， 设P(xP，yP)，则由根与系数的关系可知xP＋2＝，即xP＝，则yP＝k(xP－2)＝. 由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0，－2k)， 所以S△A1PQ＝×4×|yP－yQ|， S△A2FP＝×1×|yP|， 因为S△A1PQ＝2S△A2FP， 所以2|yP－yQ|＝|yP|. ①当2|yP|－2|yQ|＝|yP|，即|yP|＝2|yQ|时， 有＝2·|－2k|，解得k＝0，不符合题意，舍去． ②当2|yQ|－2|yP|＝|yP|，即2|yQ|＝3|yP|时，有4|k|＝，解得k＝±. 故直线A2P的方程为y＝±(x－2)． [提分技巧] 解决直线与椭圆的综合问题时的注意点 (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件； (2)强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题； (3)涉及到直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．　　 [对点训练] 1．已知抛物线C：x2＝4y，过点P(0,2)的直线与x轴交于点M，与C交于A，B两点，O为坐标原点，直线BO与直线y＝－m(m>0)交于点N. (1)若直线AN平行于y轴，求m； (2)设＝λ，＝μ，求λ＋μ. 解：(1)由题意知直线AB的斜率存在且不为0， 设其方程为y＝kx＋2(k≠0)， 令y＝0，解得x＝－，故M. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理得x2－4kx－8＝0， 其中Δ＝16k2＋32>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－8， 则x1≠0，x2≠0， 直线BO的方程为y＝x＝x＝x. 联立方程y＝－m，解得x＝－，则N. 若直线AN平行于y轴，则x1＝－， 即x1x2＝－4m＝－8，解得m＝2. (2)由题意知，＝，＝(－x1,2－y1)，＝，＝(－x2,2－y2)． 由＝λ，得＝λ(－x1,2－y1)， 则x1＋＝－λx1，即λ＝－1－， 同理可得μ＝－1－， 所以λ＋μ＝－2－·＝－2－·＝－2－·＝－1. 　证明问题 [例2]　已知F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝k(x－2)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)当k＝－时，求△FMN的面积； (2)设直线FM，FN分别与直线x＝1交于两点P，Q，线段MN，PQ的中点分别为G，H，点A.当k变化时，证明：A，G，H三点共线． [解题微“点”] 切入点 (1)联立直线与椭圆的方程，求出M，N的坐标，即可求△FMN的面积； (2)利用直线AG与直线AH的斜率相等证明A，G，H三点共线 障碍点 求直线AG与AH的斜率要利用设而不求的思想，注意运算时要严谨细心，不要出错 [解]　(1)当k＝－时，由 解得M，N的坐标分别为(0,1)，， 则|MN|＝. 又因为左焦点F(－1,0)到直线l：y＝－(x－2)的距离为d＝， 所以△FMN的面积为|MN|d＝××＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0. 由判别式Δ＝(－8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)>0， 解得k2<.所以x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝. 所以点G的坐标为. 由题意，k2≠，直线AG的斜率kAG＝＝.易知直线FM的方程为y＝(x＋1)，则点P的坐标为. 同理点Q的坐标为. 因为＋ ＝ ＝ ＝＝， 所以点H， 所以直线AH的斜率kAH＝＝. 因为kAG＝kAH，所以A，G，H三点共线． [提分技巧] (1)圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上、直线或曲线位置关系等． (2)一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证，但是解答此类问题最为关键的是把几何关系转化为代数关系，利用代数运算进行推证，如本例把A，G，H三点共线转化为kAG＝kAH. [对点训练] 2．已知点F(，0)，动点M(x，y)到直