第4板块 小题考法(二) 概 率（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

小题考法(二)　概　率 　古典概型与几何概型 [讲评提能] [例1]　(1)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲、乙两人安排在同一个舱内的概率为(　 ) A. B. C. D. (2)(2023·全国乙卷)设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x，y)|1≤x2＋y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为(　 ) A. B. C. D. [解析]　(1)从甲、乙、丙、丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有C·A＝6×2＝12种可能，要使得甲、乙在同一个舱内，由题意，甲、乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有A＝2种可能．所以甲、乙两人安排在同一个舱内的概率P＝＝. 故选A. (2)如图所示，题中所给区域为一圆环形区域，其面积为4π－π＝3π.直线OA的倾斜角不大于的部分为阴影部分所示，该部分区域的面积为2×＝，故所求概率为＝，故选C. [答案]　(1)A　(2)C [提分技巧] (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，常用到计数原理与排列、组合的相关知识． (2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性． (3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解． [过关训练] 1．共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，甲、乙排在一起，且丙与甲、乙都不相邻的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　除甲、乙、丙余下的两个人全排列，把甲、乙捆绑在一起和丙一起作为两个人插空，可得符合条件的基本事件的个数，所以所求概率为＝＝.故选A. 2.某种游戏棋盘形状如图，已知大正方形的边长为12，每个小正方形的边长均为2，在游戏棋盘上随机取一点，则该点取自小正方形以外区域的概率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　从正方形区域上任取一点，有无数种取法，并且他们是等可能的，属于几何概型．因为大正方形的边长为12，所以大正方形的面积为144.棋盘内有8个小正方形，所以小正方形以外区域的面积为144－8×2×2＝112.由几何概型的概率计算公式可得P＝＝.故选B. 3．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 解析：从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C＝70(种)．其中4个点共面有以下两种情况： ①所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法； ②所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法． 所以所取的4个点在同一个平面的概率P＝＝. 答案： 　相互独立事件的概率与条件概率 [讲评提能] [例2]　(1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　 ) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 (2)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　 ) A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 [解析]　(1)令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝＝＝0.8，故选A. (2)设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，由题意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.所以P丙－P甲＝2p2(p3－p1)>0，P丙－P乙＝2p1(p3－p2)>0，所以P丙最大，故选D. [答案]　(1)A　(2)D [提分技巧] 1．求独立事件概率的关键点