第4板块 大题专攻(一) 统计与统计案例（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　统计与统计案例 　用样本估计总体 [例1]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高. [解]　(1)由题意，求出zi的值如表所示， 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12 则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)因为2＝2＝，＝11＝>，所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． [提分技巧] 利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．　　 [对点训练] 1．某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下： (1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数； (2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率； (3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01)． 解：(1)由题意知，网店销售量不低于50的共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，实体店销售量不低于50的共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24＝24， 故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66＋38－24＝80. (2)由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x－1 700)元，50x－1 700≥800，解得x≥50. 设该实体店一天获利不低于800元为事件A，则P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38. 故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38. (3)因为网店销售量的频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 销售量低于55的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 所以网店销售量的中位数的估计值为50＋×5≈52.35. 　线性回归分析 [例2]　(2023·绵阳模拟)近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品．某用户对自己发布的短视频个数x与收到的点赞数之和y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据： x 3 4 5 6 7 y 45 50 60 65 70 (1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度？(若0.3<|r|<0.75，则线性相关程度一般；若|r|>0.75，则线性相关程度较高．计算r时精确度为0.01) (2)求出y关于x的回归方程． 参考数据及公式：≈65.57.相关系数： r＝，＝，＝－. [解]　(1)∵＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，＝×(45＋50＋60＋65＋70