第4板块 大题专攻(三) “概率与统计”大题的思维建模（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(三)　“概率与统计”大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型 (1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等； (2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等； (3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等； (4)准确选择排列组合的方法来计算样本点个数和样本点总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率； (5)确定随机变量取值并按照属于超几何分布还是二项分布求其对应的概率，写出分布列后再求期望； (6)会套用求，K2的公式求值，再作进一步求值与分析． [解题示范] [典例]　(2021·新课标Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列． (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？说明理由． [应用体验] 《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益．根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，竞赛规则：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”．已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为P1，P2. (1)若P1＝，P2＝，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率； (2)当P1＋P2＝，且每轮比赛互不影响，如果甲、乙同学在此次竞赛活动中获得“优秀小组”的次数为6次，请问至少要进行多少轮竞赛． 解：(1)记他们获得“优秀小组”为事件A，则事件A包含三种情况： ①甲答对两题，乙答对一题；②甲答对一题，乙答对两题；③甲、乙都答对两题． ∴P(A)＝2·C··＋C···2＋2·2＝＋＋＝. (2)由(1)知甲、乙同学每轮比赛获“优秀小组”的概率为P＝P·C·P2·(1－P2)＋C·P1·(1－P1)·P＋P·P＝P1P2[2P1(1－P2)＋2(1－P1)P2＋P1P2] ＝P1P2[2(P1＋P2)－3P1P2] ＝－3(P1P2)2＋P1P2. ∵0≤P1≤1 ,0≤P2≤1，P1＋P2＝， ∴≤P1≤1. ∴P1P2＝P1∈. 令t＝P1P2∈ ，则P＝－3t2＋t. 由函数的性质易知，当t＝时，Pmax＝ . 设要进行n轮竞赛，则n≥6，解得n≥10.125. ∵n∈N*，∴nmin＝11. ∴至少要进行11轮竞赛． 二微观优化解题细节：三招突破概率、统计大题的解题瓶颈 技法一　信息巧提取 [例1]　高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，某一年乘坐高铁或飞机从A市到B市的成年人约50万人次，为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取了100人次作为样本，得到下表(单位：人次). 老年人 中年人 青年人 满意度 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般) 2 3 6 2 4 9 0分(不满意) 1 0 6 3 4 4 (1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率； (2)从这一年乘坐高铁从A市到B市的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望； (3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由． [技法点拨]　此类问题文字叙述较长，解答问题应快速锁定有效信息，其技巧是：①快速了解“无关信息”；②仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例数字、字母等)；③明确题目所求内容． 如本题(2)问中，可将“随机选取1人次，此人次为老年人”视为事件A，则随机选取2人次相当于2次独立重复试验．X表示事件A发生的次数，故X服从二项分布． [解题观摩]　(1)设事件M为“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”．由表可得，样本中出行的老年人、中年人人次分别为19,39. 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)＝＝. (2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2. 易知