第3板块 小题考法(一) 空间几何体的表面积、体积（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

第三板块|立体几何 明明白白知高考　 1．从近几年高考数学试题考查的情况来看，立体几何的题目难度和题量相对稳定，一般以“2小1大”的情况出现，占22分，难度基本是中等，“2小”中的“1小”有时会结合其他知识以压轴小题的形式出现． 2．立体几何在高考中，选择题或填空题的常考点：(1)空间几何体的三视图及表面积、体积的计算，有时和数学文化、新情境交汇命题，特别要注意的是球的组合体问题，常作为小题的压轴题出现，难度较大． (2)空间点、线、面之间的位置关系的判定，或空间角的计算，若出现在压轴小题的位置，则一般为与球有关的切、接问题． 3．立体几何在高考中，解答题常以棱柱或棱锥为载体，一般设置两问，“一证一算”，一问是定性分析，一问是定量分析．其中定性分析以线面平行、垂直的证明为主，考查逻辑推理能力及学科素养；而定量分析主要是应用空间向量求线面角、二面角． 融会贯通串知识 一、主干知识·以点带面 (一)空间几何体的表面积与体积及线面位置关系 主干 知识点 四种几何体的表面积、体积公式 (1)柱体的表面积和体积： S圆柱侧＝2πrl， S表面积＝S侧＋2S底， V＝S底h (2)台体的表面积和体积： S圆台侧＝π(r上＋r下)l， S表面积＝S侧＋S上＋S下， V＝(S上＋S下＋)h (3)锥体的表面积和体积： S圆锥侧＝πrl， S表面积＝S侧＋S底， V＝S底h (4)球的表面积和体积： S表面积＝4πR2， V＝πR3 四个公理 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； (4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行 八个定理 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α； (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α； (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b； (5)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a∩b＝O，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α； (6)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b； (7)面面垂直的判定定理：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β； (8)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α (二)空间向量与空间角 主干 知识点 空间向量与空间角 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)． (1)异面直线所成的角：设l，m的夹角为θ， 则cos θ＝＝； (2)线面角：设直线l与平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝； (3)二面角：设平面α，β的夹角为θ，则cos θ＝±cos〈μ，v〉＝± 二、常用结论·记清用活 1．三视图与直观图 (1)对于三视图，务必做到长对正(正视图与俯视图一样长)、高平齐(正视图与侧视图一样高)、宽相等(侧视图与俯视图一样宽)． (2)在三视图中，看不见的线用虚线，看得见的线用实线． (3)确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置不同，所画的三视图就可能不同． (4)斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍． 2．空间几何体的表面积与体积 (1)长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径； (2)n面体的表面积为S，体积为V，则内切球的半径r＝； (3)直三棱柱的外接球半径：R＝ ，其中r为底面三角形的外接圆半径，L为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径：R′＝； (4)面积射影定理：设平面α外的△ABC在平面α内的射影为△ABO，分别记△ABC与△ABO的面积为S和S′，记△ABC所在的平面与平面α所成的二面角为θ，则有cos θ＝.当二面角的范围为时，cos θ＝－. 3．正四面体的常用结论 假设正四面体的边长为a，则有 (1)h＝a，S表面积＝a2，V体积＝a3； (2)相邻两个面的二面角：cos α＝； (3)三条侧棱与底面的夹角：cos β＝； (4)外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R＝a，球心到底面的距离为内切球的半径r＝a，因此R∶r＝3∶1； (5)顶点在底面的射影是底面三角形的中心(四心合一)； (6)对棱互相垂直，且对棱中点的连线为对棱的公垂线，距离为a，三对对棱公垂线交于一点，此点为该正四面体外接球(或内切球)的球心． 小题考法(一)　空间几何体的表面积、体积 　空间几何体的三视图与直观图 1．如图所示的几何体，它的俯视图是(