第3板块 大题专攻(一) “立体几何”大题的考法研究（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(一)　“立体几何”大题的考法研究 　直线与平面所成的角 [例1]　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． [解]　(1)证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC. 又∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC. ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1. ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D. 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C， ∴A1D⊥平面BCC1B1. ∴A1D＝1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点．又A1D⊥CC1， ∴A1C＝A1C1. 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1， ∴A1C＝AC. (2)如图，连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F， ∵AA1与BB1的距离为2， ∴A1F＝2， 又A1D＝1且A1C＝AC， ∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0，，0)，B1(－，，)，C1(－，0，)， ∴＝(0，，0)，＝(－，0，)，＝(－2，，)． 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则y＝0，z＝1， ∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1,0,1)． 设AB1与平面BCC1B1所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为. [提分技巧]　利用空间向量求线面角的解题模型 [对点训练] 1.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1ADD1为矩形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝AD＝A1A＝CD，∠DAB＝，M，E分别为AD1，B1C的中点． (1)证明：ME∥平面DCC1D1； (2)求AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值． 解：(1)证明：分别取AD和BC的中点H，P，连接MH，HP，PE，则MH∥DD1，MH＝DD1，PE∥CC1，PE＝CC1，所以MH∥PE，MH＝PE. 所以四边形MHPE为平行四边形． 所以ME∥PH.又PH∥CD，所以ME∥CD. 因为CD⊂平面DCC1D1，ME⊄平面DCC1D1， 所以ME∥平面DCC1D1. (2)因为四边形A1ADD1为矩形，所以DD1⊥AD. 因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD， 所以D1D⊥平面ABCD，故D1D⊥CD. 因为AB∥CD, ∠DAB＝，所以CD⊥AD. 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝1，则A(1,0,0)， B(1,1,0)，C(0,2,0)， B1(1,1,1)，E，所以＝(0,0,1)，＝(－1,1,0)，＝. 设平面B1BCC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝1，则y＝1，所以n＝(1,1,0)． 所以cos〈，n〉＝＝. 所以AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值为. 　二面角 [例2]　(2023·全国乙卷)如图，三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD＝DO，点F在AC上，BF⊥AO. (1)证明：EF∥平面ADO； (2)证明：平面ADO⊥平面BEF； (3)求二面角D-AO-C的正弦值． [解]　(1)证明：设AF＝tAC，则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋.因为BF⊥AO， 所以·＝[(1－t)＋t]·＝(t－1)2＋t2＝4(t－1)＋4t＝0，解得t＝.所以F是AC的中点． 又E是AP的中点，所以EF∥PC，同理可得OD∥PC，所以EF∥OD， 又OD⊂平面ADO，EF⊄平面ADO，所以EF∥平面ADO. (2)证明：易得AO＝＝，OD＝PC＝，又AD＝OD＝， 所以AD2＝AO2＋OD2，所以AO⊥OD. 由于EF∥OD，所以AO⊥EF， 又BF⊥AO，BF∩EF＝F，BF⊂平面BEF，EF⊂平面BEF， 所以AO⊥平面BEF. 又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF. (3)如图，以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0,0)，A(2,0,0)，O(0，，0)，＝(－2，，0)． 因为PB＝PC，BC＝2，所以设P(x，，z