第3板块 大题专攻(二) “立体几何”大题的思维建模（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

大题专攻(二)　“立体几何”大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：立体几何问题重在“建”——建模、建系 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建模、建系． 建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型，有时也需建立函数模型； 建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解． [解题示范] [典例]　如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD. (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积． [关键点拨] 1．利用法向量求解空间角的关键在于“四破” 2．解答立体几何问题，应具备以下5点思维 (1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形问题加以解决，因此要注意平面几何知识在解题中的灵活运用．例如，证线线平行可以利用三角形、梯形的中位线性质定理，还可以利用比例关系；证线线垂直可以利用菱形、正方形的对角线互相垂直，还可以利用勾股定理的逆定理． (2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于大多数问题主要考查的是有关判定定理在证题中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判定定理去寻找证题思路． (3)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，若对应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其他的证题思路．例如，要证线面平行，可以先证面面平行，再利用面面平行的性质；要证明线面垂直，可以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质． (4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要考虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想在解题中的灵活应用． (5)由于立体几何解答题侧重考查空间向量法在解题中的灵活运用，所以必须熟练掌握利用空间向量法求解空间角的具体过程． [应用体验] (2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60° ，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值． 解：(1)证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC. 因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE. 又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED. 又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD. (2)因为AB＝BC＝2，∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，则AC＝2，BE＝，AE＝1. 因为AD＝CD，AD⊥CD，所以△ADC为等腰直角三角形，所以DE＝1. 所以DE2＋BE2＝BD2，则DE⊥BE. 由(1)可知，AC⊥平面BED.连接EF，因为EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小，即EF的长度最小．在Rt△BED中，当EF的长度最小时，EF⊥BD，EF＝＝. 又DE⊥AC，BE⊥AC，所以EA，EB，ED两两垂直，以E为坐标原点，EA，EB，ED所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，，0)，D(0,0,1)，C(－1,0,0)， ＝(－1，，0)， ＝(0，，－1)． 易得DF＝，FB＝，所以3＝.设F(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，－y，－z)，所以3(0，y，z－1)＝(0，－y，－z)，得y＝，z＝，即F.所以＝. 设平面ABD的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则不妨取y1＝1，则x1＝，z1＝，n＝(，1，)． 记CF与平面ABD所成的角为α， 则sin α＝|cos〈，n〉|＝＝. 二微观优化解题细节：提升五大能力，突破立体几何中的解题障碍点 能力一　提高识图、作图能力 识图、作图能力是学好立体几何应具备的重要能力之一，学生的识图、作图能力弱主要集中在作图问题、球问题的直观呈现和转化、展折问题的图形分析等．要提高识图、作图能力，需要理解作图的原理，在此基础上，培养模型意识和动手能力． [例1]　已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　 ) A. B. C. D. [解题观摩]　由球的定义可知，球心O为SC的中点．如图，设△ABC的中心为M，则有OM⊥平面ABC，且OM＝ ＝.所以三棱锥的高h＝2OM＝.所以此三棱锥的体积为××12××＝.故选A. [反思领悟] 本题往往会因为对直径认识不足(球心O为SC的中点)，而纠结如何作图(球内接三棱锥S-ABC)，不懂得