第6板块 大题专攻(四) 解决极值点偏移问题的四大技法-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

高考专题辅导与测试·数学（理） 大题专攻（四） 解决极值点偏移问题的四大技法 一、极值点不偏移 (4)对于函数f(x),存在x1,x2且x1≠x2,满 已知函数y=∫(x)是连续函 足f)=f(),令。=，求证 数，在区间(x1,x2)上有且只 2 有一个极值点xo,且f(x1) f(x0)>0. =f(x2),若极值点左右的 x,-1 图1 技法一构造对称和（或差） “增减速度”相同，常常有极值点工0= x1十x2 对称变化主要用来解决与两个极值点之和或 2 :差相关的不等式的证明问题. 我们称这种状态为“极值点不偏移”（如图1）. 二、极值点偏移 [例]已知函数fx)=ln(x-1)-号(x- 已知函数y=f(x)是连续函数，在区间(x1x2)1)2.如果x<x2,且f(x1)=f(x2),证明：x1十x>4, 上有且只有一个极值点xa(即y=f(x)为单峰 [规范解题] 函数)且f(x1)=f(x2),若极值点左右的“增减 速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有 极值点6≠士的情况，我们称这种软态为 “极值点偏移”（如图2）. 极值点左偏 极位点右偏 图2 极值点偏移问题是近几年高考命题的热点，这 类试题可以很好地考查考生的推理论证能力、 运算求解能力、抽象概括能力，涉及函数与方程 思想、化归与转化思想、数形结合思想，着力考 查逻辑推理，直观想象和数学运算的核心素养. 三、极值点偏移问题的四种基本题设形式 (1)若函数f(x)存在两个零点1，x2且≠2 求证：x1十>2o(x0为函数f(x)的极值，点) (2)对于函数f(x),存在x1,x2且x1≠x2,满 足f(x1)=f(x2),求证：1+x2>2xo(x0为函 数f(x)的极值点). (3)若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠ x,令=1，求证：(x)>0. 2 |102 第六板块函数与导数 [提分技巧] 技法二比值代换法 构造对称和（或差）的步骤 比值代换法不需要讨论所给函数的单调性，也 (1)定极值点：即利用导函数求出函数的授值 不需要求出参数的取值范围，而是直接根据题意列 点xo: 出方程，然后结合分析法消去参数，得出只含有x1 (2)对称构造：即根据校值点构造对称函数 和x2的等式或者不等式，最后通过比值代换，构造 F(x)=f(x0+x)-f(xo一x)或F(x)=f(x) : 新函数证明不等式。 -f(2x0-x). (3)比较大小：即利用导数讨论函数F(x)的单 [例2] 已知函数f(x)=a- --In x(aE 调性，判断其符号，进而得到f(xo十x)与f(xo一x) R),若f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2).求证： 或者f(x)与f(2.xo-x)的大小关系. x1十x2>2. (4)转化所证：即根据函数f(x)的单调性，将 [规范解题] f(x0十x)与f(x0一x)或者f(x)与f(2xo一x)的大 小关系转化为两个极值点之间的大小关系，进而得 到所证或所求. [对点训练] 1.已知函数f(x)=lnx-ax2(a∈R) 1)若函数fx)的极大值为一7，求a的值： (2)在(1)的条件下，若f(x1)=f(.x2),且x1< x2,求证：x1十xg>4a. [提分技巧] 比值代换法的基本解题步骤 (1)建等式：即利用极值点所满足的条件建立两 个关于极值点21,2的方程： (2)设比：即根据两个数值之何的大小关系，选 取两数之商作为变量，建立两个极值点之问的关系： (3)定关系：即用一个极值点与比值表示另一个 极值点，代入方程整理，通过两个方程商构造极值点 与比值之间的关系，进而通过解方程用比值表示两 个极值点： (4)构函数：即将关于极值点的目标代数式用比 值表示出来，构造相应的函数： (5)解问题：即利用导数研究所构造的函数的单 调性、极值、最值等，解决相应的何题 高考专题辅导与测试·数学（理） [对点训练] [例3]已知函数f(x)=lnx一x. 2.已知函数f(r)=lnE一m(m∈R)有两个零点， (1)求函数f(x)的极大值： (2)若方程f(x)=m(m<一2)有两个相异实 记为x1,x2. 根x1,x2且x1<x2,证明：x1x2<2. (1)求实数m的取值范围： [规范解题] (2)证明：lnx1十lnx2>2. 技法三消参减元 消参减元的主要目的就是减元，进而建立与所 求解问题相关的函数，主要是利用函数极值点乘积 所满足的条件进行消参减元.其解题要点如下： 求函数的导函数，令(x)=0,建立极值 点所满足的方程，抓住导函数中的关键 建方程 式子，即导函数解析式中变号的部分（一 般为一个二次整式) 根据极值点所满足的方程，利用方程解 [提分技巧] 定关系 的理论，建立极值点与方程系数之间的 本题第(2