第3板块 小题考法(一) 空间几何体的表面积、体积-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

第三板块立体几何 明明白白知高考 1,从近几年高考数学试题考查的情况来看，立体几何的题目难度和题量相对稳定，一般以“2小1大”的情况出 现，占22分，难度基本是中等，“2小”中的“1小”有时会结合其他知识以压轴小题的形式出现 2.立体几何在高考中，选择题或填空题的常考点：(1)空间几何体的三视图及表面积，体积的计算，有时和数学文 化，新情境交汇命题，特别要注意的是球的组合体问题，常作为小题的压轴题出现，难度较大 (2)空间点、线、面之间的位置关系的判定，或空间角的计算，若出现在压轴小题的位置，则一般为与球有关的 切、接问题， 3.立体几何在高考中，解答题常以棱柱或棱锥为载体，一般设置两问，“一证一算”，一问是定性分析，一问是定量 分析，其中定性分析以线面平行、垂直的证明为主，考查逻辑推理能力及学科素养：而定量分析主要是应用空间 向量求线面角、二面角， 融会贯通串知识 一、主干知识·以点带面 : (二)空间向量与空间角 (一)空间几何体的表面积与体积及线面位置关系 主干 知识点 主干 知识点 ()柱体的表面积和体积： (3)锥体的表面 设直线1，m的方向向量分别为a=(a,bG) Sam=2xrl 积和体积： b=(a,b,c2),平面a,B的法向量分别为4 S表面制=Sm十2S唯， S的钱=元rl, (a,bcg),p=(a,bc）. 四种几 V=Sh S表E积=Sm十S, 何体的 (1)异面直线所成的角：设1，m的夹角为 表面积、 (2)台体的表面积和体积： 体积 Sm=元(r上十rx)l, V-3Sch S表m=Sm十S1十S下， (4)球的表面积 例 0(0<<受)： 公式 和体积： 3 (S:Sy a4:十bb十cgl V= 十S表商秋=4πR, 量 则cos0=a·b a b Va+所+GVa++ /SS)h 3xR 空 (2)线面角：设直线1与平面a的夹角为0 (1)公理：如果一条直线上的两点在一个 角 平面内，那么这条直线在此平面内： (0≤0长受）人则sn0=1cosa41=a·严 laln: (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有 四个 且只有一个平面： (3)二面角：设平面a,3的夹角为0≤0≤)，则 公理 (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个 4·Ψ 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公 cos0=士cs4,v)=士 μv 共直线： (4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行 二、常用结论·记清用活 (1)线面平行的判定定理：a吐a,bCa,且 :1.三视图与直观图 a∥h=a∥a: (2)线面平行的性质定理：a∥a,aCB,a∩A (1)对于三视图，务必做到长对正（正视图与俯视 =b→a∥b: 图一样长)、高平齐（正视图与侧视图一样高）、宽 (3)面面平行的判定定理：aCB,bC3,a∩b =P,a∥a,b∥a→3∥ai 相等（侧祝图与俯视图一样宽）， 八个 (4)面面平行的性质定理：a∥B,a∩y=a…3 (2)在三视图中，看不见的线用虚线，看得见的线 ny=b→a∥b: 定理 用实线 (5)线面垂直的判定定理：l⊥a,l⊥b,a∩b =(0,aCa,bCa→a: (3)确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置 (6)线面垂直的性质定理：a⊥a,b⊥a 不同，所画的三视图就可能不同 →a∥b: (7)面面垂直的判定定理：lLa,lC3=a⊥3： (4)斜二测画法直观图面积为原图形面积的 (8)面面垂直的性质定理：a⊥B,a∩3=a, LLa,lC3→lLa 铺27 高考专题辅导与测试·数学（理） 2.空间几何体的表面积与体积 3.正四面体的常用结论 (1)长方体，正方体的体对角线等于其外接球的： 假设正四面体的边长为a,则有 直径： (1)h=6 (2)n面体的表面积为S,体积为V,则内切球的 a,S表程三3a2,V体积二2a3, 半径r=3V 2)相邻两个面的二面角：0sa=3, (3)直三棱柱的外接球半径：R=√P+(台)，其 (3)三条侧棱与底面的夹角：0s月二 3 中r为底面三角形的外接圆半径，L为侧棱长， (4)外接球和内切球的球心重合，且球心在高对 应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的 如果直三棱柱有内切球，则内切球半径：R'= 2 (4)面积射影定理：设平面a外 距离为外接球的半径R=。,球心到底面的距 的△ABC在平面a内的射影 为△ABO,分别记△ABC与 离为内切球的半径r=。,因此R:,=3:1 △ABO的面积为S和S‘,记 (5)顶点在底面的射影是底面三角形的中心（四 △ABC所在的平面与平面a所成的二面角为0， 心合一)： 则有s0=多当二面角的范周为（赁]时。 (6)对棱互相垂直，且对棱中点的连线为对棱的 S' cos 0=- 公垂线，距离为受。，三对对