第3板块 大题专攻(二) “立体几何”大题的思维建模-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

第三板块立体几何 大题专攻（二）“立体几何”大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：立体几何问题重在“建” 建模、建系 立体儿何解答题的基本模式是论证推理与计算 相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深.解 立体几何解答题 平行模型 垂直模型 决这类题目的原则是建模、建系. 建模 平面化模型 建模一—将问题转化为平行模型、垂直模型、平面 角度计算模型 化模型及角度、距离等的计算模型，有时也需建立函数 建 距离计算模型 空何向录 模型： 空间直角坐标系 公式处理 建系一依托于题中的垂直条件，建立空间直角 建系 局部图形建平面 平面化 坐标系，利用空间向量求解。 直坐标系 处理 [解题示范 [典例]如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为 BD的中点. (1)证明：OA⊥CD. (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面 角EBCD的大小为45°，求三棱锥ABCD的体积. [关键步骤] [解题样板] [微点提醒] ①建模：证明线线垂直的：(1)证明：因为AB=AD,O为BD的中点， 模型：线⊥面→线⊥线： 所以OALBD. 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD-BD,D此处易忽视条件“平面ABD∩ 所以OA⊥平面BCD. 平面BCD=BD”,造成步骤缺 因为CDC平面BCD, 失而失分 所以OA⊥CD.0 (2)以O为坐标原点，OD,OA 日建系：将二面角问题转所在的直线分别为y轴、：轴， 化为空间向量的计算问题. 过点O且垂直于BD的直线为 x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.② 0A=1:000.0).B0,-1,0.C号70小 ●此处易求错点的坐标而导致 A(0,0,1),D(0,1,0) 后续向量的坐标出错，从而 ③设关键量：设出OA的 所以AB=(0,-1,-),BC=(停，号0小AD 导致最终结果出错. 长度，求出相关点和向量 (0,1-D.AE=AD=(o,}-专，BE=A正 的坐标， A丽=(，号).® 易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1).0 此处易忽视(0,0,1)为底面 设平面BCE的一个法向量为m=(x,y,x), BCD的法向量，如果按照法 ④求法向量：求出平面 3 「m·BC=0, BCD和平面BCE的一 2+3 y=0. 向量的一般求法求解，会浪 则 即 费较多时间. 个法向量 m·BE=0, 3 4 3=0. 39 高考专题辅导与测试·数学（理） 不妨取x=3,则y= 1,= 2,脚m=（3,-1,2 》注意法向量求解的准确性， 此处极易求解错误， 因为二面角EBCD的大小为45°， 2 所以|cos(n,m)|= n·m n m 2 ⑤计算：根据二面角的大 4十 小求1的值，从而得到三 解得1=1（负值已舍去）.Θ 棱维ABCD的高可求 其体积 由OB=OC=OD=1,得BC⊥CD,所以BC=3. 所以三棱锥ABCD的体积为号×号X1X5X1= 3 2 61 [关键点拨] [应用体验] 1,利用法向量求解空间角的关键在于“四破” (2022·全回乙卷)如图，四面 破“建系关” 构建恰当的空问直角坐标系 体ABCD中，AD⊥CD,AD= CD,∠ADB=∠BDC,E为 破“求方向向址关” 首先准确求解相关点的坐标 AC的中点. 破“求法向量关” 求出平面的法向量 (1)证明：平面BED⊥平面ACD: 破“应州公式关” 熟记求角公式，即可求出角 (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°·点F在BD 上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD 2,解答立体几何问题，应具备以下5点思维 (1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形 所成的角的正弦值. 问题加以解决，因此要注意平面几何知识在解题中 的灵活运用.例如，证线线平行可以利用三角形、梯 形的中位线性质定理，还可以利用比例关系：证线 线垂直可以利用菱形、正方形的对角线互相垂直， 还可以利用勾股定理的递定理。 (2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，！ 由于大多数问题主要考查的是有关判定定理在证 题中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判定 定理去寻找证题思路。 (3)立体儿何中证明有关平行或垂直问题时， 若对应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其 他的证题思路.例如，要证线面平行，可以先证面面 平行，再利用面面平行的性质：要证明线面垂直，可 以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质。 (4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要 考虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想在 解题中的灵活应用。 (5)由于立体几何解答题侧重考查空间向量法 在解题中的灵活运用，所以必须熟练掌握利用空间 向量法求解空间角的具体过程。 |4O 第三板块立体几何 二微观优化解题细节：提升