第2板块 大题专攻(二) “数列”大题的思维建模-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

高考专题辅导与测试·数学（理） 大题专攻（二）“数列”大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：数列问题重在“归” 化归 等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列， 错位柑减法 在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点.首项与 数列解答题 倒序相加法 公差（比）称为等差（比）数列的基本量，凡是涉及这两个数列 求 裂项相消法 的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基 基本量 和 等差（比） 分组求和法 本量间的关系，从而达到解决问题的目的.这种化归为基本 化归 数列 量处理的方法是解决等差或等比数列问题特有的方法，对于 公式法 基本方法 不是等差或等比的数列，可通过转化化归，转化为等差（比） 求 累加法 数列问题或相关问题求解.由于数列是一种特殊的函数，也 项 累乘法 可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决 待定系数法 [解题示范] [典例门(2022·新课标1卷)记Sn为数列{an的前n项和，已知4=1， 三是公差为的等差数列， (1)求{am}的通项公式： (2)证明：+1+…+1<2 [关键步骤] [解题样板] [微点提醒] ①化归：用公式—利 用等差数列的通项公式， :a,=1s=a,=1.s=1. a 得到a。与S。的关系式 又“区是公差为号的等差数列 la. (n+2)a.0 3 当n≥2时， 》灰影处注意对n≥2的限定 S.(nt1)d 以及后而对n=1时的情况的 3 验证，否则解答过程是不严 日化归：求通项一根∴a,=S,一S,=m+2)a-m+1a 谨的. 3 3 据a,与S。的关系，化归整理得(n-1)a.=(n十1)a。-1,② 为数列中相郁两项的关即=”十， 系，从而利用累乘法求出 aa: -gn-1 数列{a,}的通项公式 》灰影处注意约分后所剩的项 n一2n-1 2 有哪些，前面剩下的是分母最 显然对于=1也成主a,)的通项公式a,=mm 2 小的两项，那么后面就利下分 0化归：来和—利局@运期女-2什)0 子最大的两项 裂项法，把上化为两项，·1十1十…十】 aa 以便相消求和 2[（(1-)十（合-号）十+（分）门=2是表影处注意消项后所剩的项 ④证明不等式：根据求 有哪些，不要漏掉某些项， 2 和的结果及其中2 >02-<20 0证明不等式。 即1+1+…+1<2 a ds |24 第二板块数列 [应用体验] (2)若a4,a,ag成等比数列，求Sn的最小值. (2022·金四甲卷)记S。为数列{an}的前n项和. 已知2S+n=2a,+1. (1)证明：{a,}是等差数列： 二微观优化解题细节：求解数列问题的三大常用技巧 技巧一整体利用数列的性质 则s=1a,+a-1a,>0, 等差数列，等比数列的通项公式和求和公式 中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从 S.=12(a+ae)_12(a,+a,) <利用k-m 2 >0, 2 整体上使用公式 a.aca.as 求解 [例1](1)在等比数列{an}中，已知a1十a3 sa-18(a,+a=13a,<0. 2 =8,a5十a?=4,求ag十a11十a13十a15的值： 所以S:S<0,即满足SS+1<0的正整数k=12. (2)设等差数列{am}的前n项和为Sn,若S6> 技巧二奇偶项分类 S,>S5,求满足SS+1<0的正整数k的值. 当题中涉及（一1）”或数列的奇偶项具有不 [解题观摩](1)设等比数列{a}的公比为q, 同规律时，按照为奇数和偶数分别求解，最后再 则a=a19a,=ag,所以g-a十a=4=1 a1十a1 82 整合求解结果。 又a,+a=a,+ag=8x(侵）=2， 利用a。= 品来解 [例2]在等比数列{an中，已知a1=3,公比 du+a-(a,+a)q"-8X(2)-1, q≠1：等差数列(bn}满足b1=d1,b1=a2,b13=ag: (1)求数列{a,}与{bn}的通项公式： 所以a十a1十a:十a1s=2+1=3. (2)依题意得a4=S。一S>0, (2)记cm=(一1)"b,十an,求数列{cn}的前n a,=S,-S<0,a4+a,=S,-S.>0, 项和S 铺25 高考专题辅导与测试·数学（理） [解题观摩](1)设等差数列{b}的公差为d. [例3](1)设数列{am}满足a1=2,aw+1一 由已知，得a2=3g,4=3g,b,=3,b=3十3d, :4an=3×2m+1,求数列{an}的通项公式； 3g=3+3d, b,=3+12d,故 (2)已知数列{am}中，a2= 3g=3+12d, 3'am=aw+1十 g=1+d, q=3,9=1, 2anam+1,求数列{an}的通项公式. 即 解得 或 (舍去 g=1+4d,d=2d=0 [解题观摩](1)由a+1