第1板块 大题专攻(二) “解三角形”大题的思维建模-【创新方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

第一板块三角函数与解三角形 大题专攻（二）“解三角形”大题的思维建模 一 宏观掌握解题通路：解三角形问题重在“变” 变角、变式 尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公 式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感.突破此难点 解三角形解答题 两角问的和差 倍半变换 的关键在于“变”一变角与变式，从“变角”来看，主要有： 角 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其 三角形内角和 倍角的变换，两角与其和差角的变换以及三角形内角和定 角 定理的变换 理的变换运用，如：a=(a十)一B=(a一)+月，2a=(a十) 变 统 换元 +(a-m,2a=(叶a)-(ga),a+B=2.at3,a里= 名 2 2 三角函数公式 (。一号)一（号-）等，从变式“来看，在解决解三角形的 三角形巾止、 统 问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等 余弦定型 形 [解题示范 [典例](2022·新课标1卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，bc,已知 cos A sin 2B 1+sin A 1cos 2B' )若C=2红，求B:(2)求02士的最小值 3 [关键步骤] [解题样板] [微点提醒] ①变角：利用A十B十 Cos A sin 2B 2sin Bcos B sin B C=π把角A十B用角 (1)因为1十mA-1+cos2B2cosB cos B' C来表示，化未知角为 sin B=cos Acos B-sin Asin B 已知角，从而求出角B =c0s(A+B)=-0sC=70 国为C-,所以0<B<等所以B-是 灰影处易忽略C-行从 (2)由(1)知，sinB=-cosC>0, 而出现增解B=5 6 ②变式：利用正弦定 所以受<C<,0<B<, 》灰影处由于不能正确得 理化边为角，从而化 到受<C<x,0<B<受， 为同一角，以便进行 而sinB=-cosC=sin(C-受）人所以C=受+B, 也就不能得到角B和角 运算， 即有A=5-2B. C的关系，影响后续的化 2 所以4+_simA+sinB 简和变形. sin C 目变角：利用二倍角 cos 2B+1 cos B cos'B 公式化2B为B,统 一角。 (2c0sB-1)2+1-c0sB0 cos B dcos'B-5cos B+2-4cos'B+2 ④变式：构造应用基 cos B cos B50 本不等式的形式，以 ≥2v8-5=4V2-5. 便求十B的最小值 当且仅当0心B=号时取等号，所以“十少的最小值为v2-5.》友彩处不要息略验证是 c2 2 否能取等号 铺了13 高考专题辅导与测试·数学（理） [关键点拨] [应用体验] 1,利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 (2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的 我条件寻找三州形中己知的边和，确定转化方向 对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为V3, D为BC的中点，且AD=1. 定工其 根据已知条件和转化方向，选择使用的定理 和公式，进行边角之间的转化 1)若∠ADC=受，求tanB: 求结果 根据前两步分析，代入求值得出结果 (2)若b2+c2=8,求b,c. 再反思 转化过程巾要注意转化的方向，审视结果的 合理性 2.解三角形中的注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量 的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围 求角的范围时可以利用余弦定理进行转化 (2)注意题目中的隐含条件，如A十B十C=π， 0<A<π，b-c<a<b十c,三角形中大边对大角等. (3)注意挖掘特殊关系量，如： ①已知两角A,B与一边a, 由A+B+C=元及A曲BiC可求 b 出角C,再求b,c: ②已知两边b,c与其夹角A, 由a2=b2+c2-2 bccos A,求出a,再由余弦定 理，求出角B,C: ③已知三边a,b.c,由余弦定理可求出角A,B,C 二微观优化解题细节：解三角形必须具备的三个意识 “解三角形”的总体难度适中，入手比较容易，但在具体解决问题时，学生易出现“会而不对，对而不全”的情 况.主要表现为：公式记忆不准确：在三角函数公式变形中转化不当，导致后续求解复杂或运算错误：忽视三角形 中的隐含条件，求边、角时忽略其范围等.基于以上误区，解决此类问题要强化以下三个意识. 意识一边角互化 再由余弦定理得a=6十2-2hcsA,所以csA= [例1]a,b,c分别为锐角△ABC内角A,B,2·因为A∈(0，)，所以A=三 31 C的对边.已知2 usin A=(2sinB-sinC)b+(2sinC (2)假设b=5,则由余孩定理，得a2=十c2 -sin B)c. 2bccos A=19, (1)求A: 所以osBd十-古_19+25<0，→边化角 2ac 2ac (2