2024年中考 数学 重难点突破 专题一　几何最值问题

重难点突破 专题一　几何最值问题 类型一　利用二次函数性质求最值 1. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c, 记p＝，则其面积S＝.这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为(　　) A. B. 4 C. 2 D. 5 2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，以CE为边作正方形CEMN，连接DE，DM，则△DEM面积的最小值为________． 第2题图 3. 如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGD，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为________． 第3题图 类型二　利用“垂线段最短”求最值 4. 如图，在△ABC中，BC＝6，∠ABC＝45°，M是△ABC内一动点，N是BC边上一动点，连接MN，点M到AB和BC的距离相等，则CM＋MN的最小值为(　　) A. B. 2 C. 3 D. 4 第4题图　 5. 如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与 BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是(　　) A. 1 B. C. D. 3 第5题图 6. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点E，F分别在BC，CD边上(不与菱形顶点重合)，且△AEF为等边三角形，则△CEF面积的最大值是________． 第6题图 类型三　利用“两点之间，线段最短”求最值 7.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE＋OE的最小值是(　　) A. 4 B. 2＋2 C. 2 D. 2 第7题图　　 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，点M是AD上一点，且MD＝1，点P是边BC上一动点，则PM－PO的最大值为________． 第8题图 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为AC上一定点，BP＝6，点D，E分别是射线BA，BC上的动点，连接DP，EP，DE，则△DEP周长的最小值为________． 第9题图 类型四　利用辅助圆求最值 (2021.10、17，2020.17) 10. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为________________． 第10题图 11. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD<BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为________． 第11题图 12. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝BD＝6，∠BCD＝120°，连接AC，点M在线段AC上，且DM＝CD，则四边形ABCD周长的最大值为________． 第12题图　　 13. 在△ABC中， ∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为________． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，BQ，则在旋转过程中△ABQ面积的最小值为________． 第14题图 ( 第 1 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 专题一　几何最值问题 类型一　利用二次函数性质求最值 1. C　【解析】∵p＝，p＝5，c＝4，∴5＝，∴a＋b＝6，∴a＝6－b，∴S＝＝＝＝＝，令y＝－5(b－3)＋20，∵－5＜0，∴函数有最大值，当b＝3时，y＝＝3，∴函数最大值为3，∴当b＝3时，S有最大值为＝2. 2. 6　【解析】如解图，连接DN，∵四边形ABCD与四边形CEMN均为正方形，∴∠BCD＝∠NCE＝90°，BC＝CD，CE＝CN，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCN＋∠ECD，∴∠BCE＝∠DCN，在△EBC和△NDC中，，∴△EBC≌△NDC(SAS)，∴BE＝DN，设BE＝x，则DN＝x，在Rt△BEC中，CE2＝BC2＋BE2＝42＋x2＝16＋x2，∴S正方形