北京市十一学校2022-2023学年高二上学期期中数学试卷

2022-2023学年北京市十一学校高二上学期期中 数 学 一、选择题，本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．抛物线x2＝8y的焦点到准线的距离是（　　） A． B． C．2 D．4 2．已知双曲线的上、下焦点分别为F1（0，4），F2（0，﹣4），P是双曲线上一点且||PF1|﹣|PF2||＝6，则双曲线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 3．双曲线与椭圆的焦点相同，则a等于（　　） A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．2 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝ax（a＞0）上点M（1，m）到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 5．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝2x，则C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 6．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是直角三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．若k∈R，则“k＞3”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若直线y＝kx与双曲线x2﹣y2＝1的两支各有一个交点，则实数k的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B．[﹣1，0）∪（0，1] C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，1） 9．已知抛物线y2＝8x，O为坐标原点，过其焦点的直线l与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝10，则AB中点M到y轴的距离为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 10．已知双曲线C，过点P（1，2）的直线l与双曲线C交于M，N两点，若P为线段MN的中点，则线段|MN|等于（　　） A． B． C． D． 11．设点F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知椭圆＝1（a＞b＞0）与双曲线＝1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题，本题共6小题，每小题4分，共24分. 13．（4分）已知双曲线过点（﹣2，1），则其渐近线方程为 　 　． 14．（4分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A是C上任意一点，则△AF1F2的周长为 　 　． 15．（4分）已知抛物线y2＝6x的焦点为F，点P为该抛物线上一个动点，点A（3，2），则|PF|+|PA|的最小值为 　 　． 16．（4分）设O为坐标原点，F（2，0），点A是直线x＝﹣2上一个动点，连接AF并做AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 　 　． 17．（4分）设F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在C上，O是坐标原点，且|OP|＝3，则△PF1F2的面积为 　 　． 18．（4分）已知曲线C的方程为x2+4|y|＝4，则下列说法正确的是 　 　． ①曲线C关于坐标原点对称； ②y的取值范围是[﹣1，1]； ③曲线C是一个椭圆； ④曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积． 三、解答题，本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 19．（10分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点为0，焦点为F．过点F且斜率为k的直线l与C有两个不同的交点A（4，4），B（x2，y2），过点A作平行于C的对称轴的直线交C的准线于点A1． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程； （Ⅱ）求证：B，O，A1三点共线． 20．（10分）已知椭圆过定点（﹣2，0），离心率． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线AB的方程． 21．（10分）已知椭圆的长轴长为6，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点A，B为椭圆C的左右顶点，M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线AM交直线x＝4于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线BN垂直的直线记为l，直线BM交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值． 22．（10分）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|＝6． （1）求该抛物线C的方程； （2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是