6.1任意角的正弦、余弦、正切、余切（第4课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

第 6 章 三角 2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 6.1任意角的正弦、余弦、正切、余切（第4课时） 学习目标 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． (重点、难点) 2．掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号． (易错点) 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”； 知识回顾 根据定义 ， 角 α 的正弦 、 余弦 、 正切及余切值仅与角 α 的大 小有关 ， 而与角 α 的终边上的点P 的位置无关 ， 因此我们可以 用角 α 的终边上到原点距离为 １ 的点来确定角 α 的正弦 、 余弦 、 正切及余切值 ． 半径为 １ 个单位的圆称为 单位圆 （ ｕｎｉｔｃｉｒｃｌｅ ） ． 本章中 ， 如无特别说明 ， 单位圆通常指在平面直角坐标系中以原点为圆心 ， 以１ 为半径的圆 ． 将角 α 的顶点置于坐标原点 o ， 始边与 x轴的正半轴重合 ， 则角 α 的终边与以原点为圆心的单位圆交于唯一的一点 P（ x ，y），如图 ６-１-９ 所示 ． 这样 ， 任意一个角 α 对应于单位圆上一点 P ；反之 ， 单位圆上一点 P 可对应无穷多个角 ， 但这些角的弧度数之差必为２π的整数倍 ． 由定义可知 ， x＝ｃｏｓ α ， y ＝ｓｉｎ α ． 因此 ，单位圆上点 P的坐标必可以写为 （ ｃｏｓ α ， ｓｉｎ α ） 对终边与坐标轴重合的角 α ， 设终边与以原点为圆心的单位 圆的交点为 P， 请同学们完成以下表格 （ 表 ６-４ ） 设角 α 的终边经过异于原点的一点 P（ x ，y ）， 并记 当 ｃｏｓ α ≠０ 时 ， 有 当 ｓｉｎ α ≠０ 时 ， 有 当 ｔａｎ α 、 ｃｏｔ α 都有意义时 ， 有ｔａｎ α · ｃｏｔ α ＝１． 根据以上关系 ， 如果知道角 α 的正弦 、 余弦 、 正切及余切之 中的一个值 ， 就可以求出其他值 解 　 因为 α 为第二象限的角 ， 所以 ｃｏｓ α ＜０． 从而 于是 ， 当 α 为第二象限的角时 ， 而当 α 为第四象限的角时 课本练习 ２． 分别求 ｓｉｎkπ （ k ∈Z） 和 ｃｏskπ（ k∈Z ）的值 ． 随堂检测 1、若a＝sin 2，b＝cos 2，则a，b的大小关系为(　　) A．a<b　 B．b<a C．a＝b　　D．不能确定 2、若sin α<0，tan α>0，则α在第__________象限． 【答案】三； 【答案】B； 3.已知-π＜x＜0， ，求tanx. 【解析】解：由 ①，两边平方得1+2sinxcosx= ， 所以2sinxcosx=- ，因为-π＜x＜0， 所以sinx＜0，cosx＞0， 所以sinx-cosx=- - ②， ①②联立，可得sinx=- ，cosx= ， 所以tanx= =- ． 17 4.已知 = ． (1)求tanx的值； (2)若x是第三象限角，求sinx,cosx的值． 【解析】解：(1)因为 = = = ， 所以解得tanx=2； (2)因为x是第三象限角， 所以sinx＜0，cosx＜0， 又tanx= =2，可得sinx=2cosx, 所以cos2x+(2cosx)2=1， 解得cosx=- ，sinx=- ． 18 5.根据下列条件，求角α的其它三角函数值． (1) ，且α是第二象限的角，求cosα，tanα的值； (2)tanα=-2，且α是第四象限的角，求sinα，cosα的值． 【解析】解：(1)因为 ，且α是第二象限的角， 所以cosα=- =- ， 所以tanα= =- =- ． (2)由题意知， ，α是第四象限的角， 所以sinα=- ，cosα= ． 19 6.如图，已知单位圆O与x轴正半轴相交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB= ，记∠MOA=α，∠MOB=β． (Ⅰ)若α= ，求点A，B的坐标； (Ⅱ)若点A的坐标为( ，m)，求sinα-sinβ的值． 【解析】解：(Ⅰ)若α= ，则点A( ， )，B(- ， )； (Ⅱ)若点A的坐标为( ， )，则sinα= ，cosα=sinβ= ， ∴sinα-sinβ=- ． 20 $$