专题3.3 立体几何与空间向量

专题3.3 立体几何与空间向量 题组一、线面、面面角的计算 1-1、（盐城市、南京市2023—2024学年度第一学期期末调研测试高 三 数 学）(本小题满分12分) 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝AA1＝2，∠A1AB＝，侧面CDD1C1⊥底面ABCD． (1)求证：平面A1BC⊥平面CDD1C1； (2)求直线AB1和平面A1BC1所成角的正弦值． 1-2、（山东潍坊2023-2024年高三期末考完）（12分） 如图，矩形中，，，点，在边，上，且.将矩形沿折起至，使得，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 1-3、（江苏省如东中学2023-2024学年高三上学期12月学情调研）(本小题满分12分) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为棱PD上一点，且PE＝2ED. (1) 求证：平面PAC⊥平面ABCD； (2) 求平面PCE与平面BCE所成角的余弦值． 1-4、（2023-2024学年江苏盐城四校联考第一学期12月阶段检测）（12分） 如图，在四棱台中，已知，. （1）证明：平面； （2）若四棱台的体积为，求二面角的余弦值. 1-5、（2024年1月济南市高三期末学习质量检测） 如图，四棱锥P-ABCD中，，，，平面平面PAC． （1）证明：； （2）若，M是PA的中点，求平面MBC与平面PAC夹角的余弦值． 1-6、（2024届江苏新高考基地学校第三次大联考） . 如图，在直三棱柱中，，，两个质点分别从点和点同时出发，均以每秒个单位长度速度分别向点，作直线移动.如图，点,分别是两质点移动秒后到达的位置． （1）证明：平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 1-7、（南通市徐州等四市联考2024届高三第一次调研测试）(10分) 已知AB是圆锥PO的底面直径，C是底面圆周上的一点，PC＝AB＝2，AC＝，平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示． (1)证明：OC⊥平面PAB； (2)求二面角A－PB－C的余弦值． 1-8、（佛山一中2023-2024年高一次模拟考试数学（新课标I卷）） 如图，三棱锥中，平面，为的中点，，，平面平面， （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 1-9、（广州市中大附中2024届高三上学期第一次调研） 如图，点在以为直径的圆上，垂直于圆所在平面，为的重心. （1）求证：平面平面； （2）若，，求二面角的余弦值. 题组二、距离、长度及的范围问题 2-1、（江苏省百校大联考2024届高三上学期第二次考试数学试题） 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若，是的中点，在线段上，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 题组三、探索性问题 3-1、（广东省执信、深外、育才等学校2024届高三上学期12月联考数学试题） 在四棱锥中，底面是正方形，，且底面，点是棱的中点，平面与棱交于点． （1）求与平面所成角的正弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得直线与直线所成角为？若存在，试说明点位置；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 立体几何与空间向量 题组一、线面、面面角的计算 1-1、（盐城市、南京市2023—2024学年度第一学期期末调研测试高 三 数 学）(本小题满分12分) 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝AA1＝2，∠A1AB＝，侧面CDD1C1⊥底面ABCD． (1)求证：平面A1BC⊥平面CDD1C1； (2)求直线AB1和平面A1BC1所成角的正弦值． (第18题图) A B C D A1 B1 D1 C1 O M x y z 【解析】 (1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥CD， 又侧面CDD1C1⊥底面ABCD，侧面CDD1C1∩底面ABCD＝CD， 且BC平面ABCD，所以BC⊥平面CDD1C1， 3分 又因为BC平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面CDD1C1． 5分 (2)解：因为AB＝AA1＝2，∠A1AB＝，连接CD1，则△CDD1为正三角形， 取CD中点O，则D1O⊥CD， 由BC⊥平面CDD1C1及D1O平面CDD1C1得D1O⊥BC， 又CD∩BC＝C，所以D1O⊥底面ABCD， 过点O作OM∥BC交AB于M， 6分 以O为原点建立如图所示空间直角坐标系O－xyz， 则A(2，－1，0)，A1(2，0，)，B(2，1，0)，B1(2，2，)，C1(0，2，)， 所以＝(0，1，－)，＝(－2，2，0)，＝(0，3，)． 7分 设平面