精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

雅礼教育集团2023年下学期期末 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 3. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，则 4. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ） A. 10 B. 100 C. 110 D. 120 5. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知圆，直线，l与圆C相交于A、B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（ ） A B. C D. 7 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足， ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.005 B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75 C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为225 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数有最大值 11. 设数列的前n项和为，下列命题正确的是（ ） A. 若为等差数列，则，，仍为等差数列 B. 若为等比数列，则，，仍为等比数列 C. 若等差数列，则为等差数列 D. 若为正项等比数列，则为等差数列 12. 已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ） A. B. C. 的最大值为16 D. 当最小时，直线的斜率不存在 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 曲线在点处的切线方程为______. 14. 已知，则__________. 15. 某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________． 16. 若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 设为实数，函数. （1）求的极值； （2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？ 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若的中线长为，求面积的最大值． 20. 记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且． （1）求和的值，并猜想的通项公式； （2）证明第（1）问猜想的通项公式； （3）设，数列的前n项和为，求证：． 21. 在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点为，上顶点满足. （1）求的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点.设直线和直线相交于点，直线和直线相交于点，直线与轴交于.证明：是定值. 22. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雅礼教育集团2023年下学期期末 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数乘法结合共轭复数的概念即可得解. 【详解】由题意，所以. 故