排列组合问题经典题型与通用15种方法-2024届高三数学专题复习

2024届高中数学专题训练---《排列与组合》 排列组合问题经典题型与通用15种方法、高考真题分类汇编、针对训练 100题 1、 基础回归（计数原理、排列、组合） 2、 考点分析（四个考点） 3、 解题方法（排列组合问题经典题型与通用15种方法） 4、 真题回顾（2014-2023年） 5、 针对训练（100题） 1、 基础回归（计数原理、排列、组合） 1.两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法； （2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 2.两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 3. 排列与组合的概念 名称 定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 4. 排列数与组合数 (1) 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　不同排列　的个数，用符号　A　表示． (2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　不同组合　的个数，用符号　C　表示． 5. 排列数、组合数的公式及性质 公式 (1) A＝　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2) C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1 性质 (1) 0！＝　1　；A＝　n！　. (2) C＝C；C＝　C＋C　 6.常用结论 (1) 1．排列数、组合数常用公式 1　 A＝(n－m＋1)A. 2　 A＝nA. 3　 (n＋1)！－n！＝n·n！. 4　 kC＝nC. 5　 C＋C＋…＋C＋C＝C. (2) 解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏. (3) 对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏. 2、 考点分析（四个考点） 考点一：两个计数原理 结论一、加法与乘法原理 1、分类加法计数原理：做一件事，完成有类办法，在第一类办法中由种不同方法，在第二类办法中由种不同方法，，在第类办法中由种不同方法，那么，完成这个件事共有=+++种不同方法.又称加法原理. 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同方法，做第二个步骤有种不同方法，，做第个步骤有种不同方法，那么，完成这个件事共有=×种不同的方法.又称乘法原理. 【例1】（2023下·江苏常州·高二统考期中）已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以确定不同的平面个数为（    ） A．4 B．7 C．11 D．126 【答案】C 【分析】由题意，第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面，再根据分类计数原理，即可求解． 【详解】分两类情况讨论： 第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面； 第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面． 根据分类加法计数原理知，共可以确定7＋4＝11个不同的平面. 故选：C． 题型1　与数字有关的问题 【例2】（2023下·湖北武汉·高二武汉市吴家山中学校联考期中）从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则三位数的个数为（    ） A．24 B．48 C．18 D．36 【答案】C 【分析】利用分步计数原理和排列数即可求解. 【详解】先排末位则有种，再从剩下的三个选两个进行排列则， 根据分步计数原理可得种， 故选：C. 【解题秘籍】数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 （1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特