2024年人教版九年级数学中考高频考点突破：圆综合压轴题

2024年人教版九年级数学中考高频考点突破 圆综合压轴题 1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 2．如图，是的直径，弦与交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求弦的长； (3)在（2）的条件下，延长至点，使，连接．求证：是的切线． 3．如图，是的直径，点是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，交于点E，且平分∠DAB． (1)求证：直线是的切线； (2)连接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的长． 4．如图，在中，，，以为直径的交于点，交的延长线于点，交于点，交于点，且，． (1)请判断线段和的大小关系，并说明理由． (2)求的值． (3)若点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，记，． ①求关于的函数表达式． ②当点运动到半径上时，若射线交于点，点恰好为，，其中两点之间的弧的中点，请求出所有满足条件的的值． 5．如图，是的直径，D是的中点，于E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 6．如图，的直径，弦，连接，以C为圆心，长为半径画弧与交于点D，连接，，与交于点E．    (1)请直接写出图中与相等的所有角 ___________； (2)求的长． 7．如图，已知：四边形内接于，弦垂足为F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点G在上，连接并延长交于点H，连接，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，连接GO并延长交DE于点N，AH与BC交于点K，若，时，如图3，求线段DC的长． 8．如图，是的直径，弦，垂足为H，连接，过上一点E作交BA的延长线于点F，交于点G，，延长线交于点K．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 9．如图，在中，，分别与边，相切于点D和点E，连接．    (1)求证：为的平分线． (2)连接与交于点F，且满足，若，求的半径． 10．如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，①求的半径；②求线段的长． 11．如图，是的直径，点是上一点（不与点，重合），连接，．    (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，在（1）的条件下，过点作的切线，分别交、的延长线于点、，连接、，若，，，请求出的长． 12．如图，在 Rt中，，以为直径的交于点E，点D是边上的中点，连接．    (1)求证：与相切； (2)连接交于点F，若的半径为3，，求的值． 13．如图，已知中，，，，点D在上，连接，以点A为圆心、以为半径作圆A，圆A和边交于点E，点F在圆A上，且．    (1)设，，求y关于x的函数解析式；并写出的长； (2)如果点E是弧的中点，求的值； (3)连接，如果四边形是梯形，求的长． 14．如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接交于点M，F是上的一点，且，连接．    (1)求证：； (2)求证：是的切线． 15．如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)(2) 证明：连接AC、BD．如图①．    ∵，． ∴． ∴． ∴． （2）解：∵，，．由（1）可知． ∴． ∵，是的直径，，． 连接OD．如图②． ∵为切线． ∴． ∵．． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． 又∵． ∴． 2．(2) 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵为公共边， ∴； （2）解：连接，如图所示，    ∵是的半径，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为正三角形， ∴， 在中，； （3）证明：由（1）可得：， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， ∴为正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 3．(2) 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点在上， ∴直线是的切线； （2）解：如图所示，连接，由（1）得， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，， ∴∽， ∴，即， ∴， ∴，， ∴． 4．(1)，(2) (3)①；②或 【详解】（1）