考点12 二次函数（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）

考点12. 二次函数（精讲） 【命题趋势】 二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。 【知识清单】 1：二次函数的相关概念（☆☆） 1）二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2）二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式： y=a（x–h）2+k （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 2：二次函数的图象与性质（☆☆☆） 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值=。 当x=–时，y最大值=。 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 （1）二次函数图象的翻折与旋转 抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h)²-k； 沿x轴翻折变为：y= -a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y= a(x+h)²+k； （2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆） 1）抛物线开口的方向可确定a的符号： 抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0 2）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）： 对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0 3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c）， 交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0 4）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）： 若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0； 5）其他辅助判定条件： 1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=； 3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 4：二次函数与方程、不等式（☆☆） 1）二次函数与一元二次方程的关系 （1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。 （2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。 （3）①b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； ③b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。 2）二次函数与不等式的关系（以a>0为例）: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0的解集情况 x<x1或x>x2 取任意实数 ax2＋bx＋c<0的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【易错点归纳】 1. 二次函数的辨别中切记保证a≠0，而b，c可以为任意实数（即可为0）； 2. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围； 3. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关。 【核心考点】 核心考点1.二次函数的相关概念 例1：（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1.（2023·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（    ） A． B． C． D．或 例2：（2023上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销