专题4-1 向量性质与基本定理应用（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题4-1向量性质与基本定理应用 目录 题型01向量夹角：模型夹角 1 题型02向量夹角：坐标型 2 题型03向量夹角：复合型 3 题型04向量夹角：恒成立与最值型 3 题型05投影与投影向量：投影数量 4 题型06投影与投影向量：投影向量 5 题型07线性运算：鸡爪基础型 6 题型08线性运算：四边形 7 题型09基底：换基底型 8 题型10基底：两线交点型 8 题型11基底：面积比值型 10 题型12基底：赵爽弦图型 10 题型13数量积最值范围 11 题型14范围最值型：建系法 12 高考练场 13 题型01 向量夹角：模型夹角 【解题攻略】 求平面向量夹角的方法模长型）： 定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是； 【典例1-1】．（2022·辽宁·模拟预测）已知向量，满足，，则，夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知为非零向量，且，则与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022·甘肃·一模（文））向量，满足，，，则向量，的夹角是（       ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·广西南宁·一模（文））若两个向量满足，则与的夹角是（       ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·广西·高三阶段练习（文））已知单位向量，，，则与的夹角为（       ）． A．30° B．60° C．120° D．150° 题型02向量夹角：坐标型 【解题攻略】 求平面向量夹角的方法（坐标型）： 坐标法：若非零向量、，则. 【典例1-1】（2021·江西·高三阶段练习（理））已知向量，若，则向量与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（       ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（            ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高三）已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）若，，且，的夹角的余弦值为，则等于（       ） A．2 B． C．或 D．2或 题型03向量夹角：复合型 【解题攻略】 复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算 cos〈a，b〉＝ ＝ 【典例1-1】（2022·河南·光山一中高三阶段练习）已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2022·四川省成都市新都一中高三）已知，，则向量与的夹角为（       ） A．90° B．60° C．30° D．0° 【变式1-1】．（2020·云南德宏·高三 （理））已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若与的夹角为，则（       ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 题型04 向量夹角：恒成立与最值型 【解题攻略】 向量型恒成立： 1. 通过模计算，转化为函数恒成立。 2. 通过向量几何意义，转化为图形恒成立 【典例1-1】已知向量，满足|，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为，则的值为（    ） A．﹣2 B．2 C． D． 【典例1-2】设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知向量，，，，的夹角为，若存在实数m，使得，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 题型05 投影与投影向量：投影数量 【解题攻略】 若、，则 a在b方向上的投影为： |a|cos θ ＝ 【典例1-1】（2023下·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C． D．1 【典例1-2】已知，向量在向量上的投影