专题07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型-2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“8”字模型 图1 图2 8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 例2．（2023春·山东七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 例3．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市龙华中学校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　　个； （3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数； （4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）． 例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论． (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．     　　　 　    　　　　　   模型2、“A”字模型 结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 例2．（2022·福建泉州·九年级校考期中）如图，，若，那么（    ） A． B． C． D． 例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 例5．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于_______． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，求的值． （3）如图2，请你归纳猜想与的关系是______，并说明理由． （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系并说明理由． 例6．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果． 几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C； 应用上面模型解决问题： (1)如图（2），“五角星”形，求？ 分析： 图中是“A”型图，于是，所以=   ； (2)如图（3），“七角星”形，求； (3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ； 模型3、三角板模型 【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 例1．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图：和是两块直角三角尺