专题21 指数、对数、幂函数小题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）

专题21 指数、对数、幂函数小题 解题秘籍 1. 指数的基本知识 （1） 根式的基本性质 ①的定义域为,的定义域为 ②，定义域为 ③，定义域为 ④，定义域为 ⑤，定义域为 （2） 指数的基本性质 ①零指数幂:; ②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; ④负分数指数幂: （3） 指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 2. 指数函数 （1） 指数函数的定义及一般形式 一般地，函数，叫做指数函数 （2） 指数函数的图象和性质 图 象 定义域 值域 性质 过定点 当时，； 时, 当时，； 时, 在上是增函数 在上是减函数 3. 对数的运算 （1） 对数的定义 如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数 （2） 对数的分类 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为，即： 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即： （3） 对数的性质与运算法则 ①两个基本对数：①，② ②对数恒等式：①，②。 ③换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 ④积的对数：； ⑤商的对数：； ⑥幂的对数：❶，❷， ❸，❹ 4. 对数函数 （1） 对数函数的定义及一般形式 形如：的函数叫做对数函数 （2） 对数函数的图象和性质 图象 性质 定义域： 值域： 当时，即过定点 当时，； 当时， 当时，； 当时， 在上为增函数 （5）在上为减函数 5. 幂函数 （1） 幂函数的定义及一般形式 形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数 （2） 幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 模拟训练 一、单选题 1．（22·23下·湖北·三模）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（22·23·深圳·二模）已知函数，则（    ） A．2 B．-2 C． D．- 3．（23·24上·吉林·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（22·23·聊城·三模）设，，则（ ） A． B． C． D． 5．（22·23·广州·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（22·23下·辽宁·二模）“”是“函数是奇函数”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（22·23·济宁·三模）若且，则（ ） A． B． C． D． 8．（22·23下·威海·二模）已知，，则（    ） A． B．2 C．6 D．9 9．（22·23下·河北·一模）若函数，则（    ） A． B． C． D． 10．（22·23·三明·三模）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（    ） A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6 11．（22·23·唐山·二模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，以神经网络为出发点．在训练神经网络时，需要设置学习率来控制参数更新的速度，在模型训练初期，会使用较大的学习率进行模型优化，随着选代次数增加，学习率会逐渐进行减小，保证模型在训练后期不会有太大的波动．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个知识衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练选代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．31 B．32 C．33 D．34 12．（22·23·德州·三模）2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代