专题15 球体外接内切综合问题小题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）

专题15 球体外接内切综合问题小题 解题秘籍 1. 球的表面积和体积公式 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 2. 球的切接概念 空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球 空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球 3. 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　 4. 墙角模型（三条直线两两垂直） 补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 5. 直棱柱外接球之汉堡模型 （1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 （2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理 直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形） 6. 底面外接圆的半径r的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 （4）长（正）方形：半径等于对角线的一半 7. 正棱锥类型 , 解出 8. 侧棱垂直与底面-垂面型 9. 侧面垂直与底面-切瓜模型 如图：平面 平面 ( 为小圆直径) （1）由图知球心必为的外心,即在大圆面上,先求出小圆面直径的长; （2）在中,可根据正弦定理,解出 如图：:平面平面 （1）确定球心的位置,由图知三点共线; （2）算出小圆面半径,算出棱锥的高 （3）勾股定理: ，解出 10. 内切球 如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法) （1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积; （2）设内切球半径为,建立等式: （3）解出 结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. 模拟训练 一、单选题 1．（22·23下·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22·23·福州·二模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，， ，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（22·23下·南京·二模）直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（    ） A． B．1 C． D． 4．（22·23·德州·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，点为上靠近的三等分点，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（22·23下·厦门·二模）西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积（R为球缺所在球的半径，h为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（    ） A．494ml B．506ml C．509ml D．516ml 6．（22·23下·莆田·二模）某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（    ）（） A． B． C． D． 7．（22·23·邯郸·二模）如图①，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm）.则该机械插件中间部分的体积约为（）（    ） A． B． C． D． 8．（22·23·黄山·三模）如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（22·23下·广州·三模）已知克列尔公式：对任意四面体，其体积和外接球半径满足，其中，，，，，，分别为四面体的三组对棱的长.在四面体中，若，，则该四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（22·23下·岳阳·三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，， 二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 11．（22·23下·长沙·二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，