专题14 立体几何小题综合-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）

专题14 立体几何小题综合 解题秘籍 1. 立体几何基础公式 所有椎体体积公式：，所有柱体体积公式：，球体体积公式： 球体表面积公式：，圆柱： 圆锥： 2. 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式 （1） 已知长宽高求体对角线： （2） 已知共点三面对角线求体对角线： 3. 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为. 4. 欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F). （1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：； （2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：. 5．空间的线线平行或垂直 设，，则 ； . 5. 夹角公式 设，b＝，则 . 6．异面直线所成角 = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 7．直线与平面所成角，(为平面的法向量). 8. .二面角的平面角 （，为平面，的法向量）. 9. 异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离). 10. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 模拟训练 一、单选题 1．（22·23下·无锡·三模）已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．（22·23·宁德·二模）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（22·23下·长沙·三模）已知平行六面体的各棱长都为，，、、分别是棱、、的中点，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面与平面间的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 4．（22·23下·湖北·三模）如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 5．（22·23下·黄冈·二模）已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的外接球上，分别是和的中点，，，当取得最大值时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（22·23·潍坊·三模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（    ）（注：1丈尺） A．11676立方尺 B．3892立方尺 C．立方尺 D．立方尺 7．（22·23·山东·二模）正四棱柱中，，为底面的中心，是棱的中点，正四棱柱的高，点到平面的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（22·23·福州·三模）如图，在圆台OO1中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，，点D是BC的中点，l为平面与平面的交线，则交线l与平面所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 9．（22·23下·浙江·二模）在平行四边形中，角，将三角形沿翻折到三角形，使平面平面.记线段的中点为，那么直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 10．（22·23下·盐城·三模）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（22·23·衡水·一模）已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（    ） A． B． C． D． 12．（22·23·保定·二模）如图，在长方体中，，，对角线与平面交于点．则与面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 13．（2023·遂宁·三模）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是（    ） A．当运动时，二面角的最小值为 B．当运动时，三棱锥体积不变 C．当运动时，存在点使得 D．当运动时，二面角为定值 14．（22·23·黄山·二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形，，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥，使与重合，与重合，与重合，与重合，点重合于点，如图2.则正四棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（22·23下·绍兴·二模）如图，为直角梯形，.连，将沿翻折成三棱锥，当三棱锥外接球表面积的最小值时，二面角的余弦值为（    ） A． B．0 C． D． 二、多选题 16．（22·23·南京·