专题06 圆锥曲线大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）

专题06 圆锥曲线大题 解题秘籍 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解 2.若直线与圆雉曲线相交于，两点， 由直线与圆锥曲线联立，消元得到（） 则： 则：弦长 或 圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理） 设直线方程为: (特殊情况要对 进行讨论), 圆锥曲线的方程为: , 把直线方程代入曲线方程, 可化为 , 设直线和曲线的两交点为 , 求根公式为 (1) 若消去 y, 得 则弦长公式为: (2) 若消去 则弦长公式为: 3. 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 4. 处理定值问题的思路： 联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可. 模拟训练 一、解答题 1．（22·23下·无锡·三模）已知，，为椭圆上三个不同的点，满足，其中.记中点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，交于，两点，求证：. 2．（22·23·深圳·二模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 3．（22·23下·河北·一模）已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，当时，. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线，直线及y轴围成的三角形为等腰三角形. 4．（22·23下·河北·三模）已知椭圆，其焦距为，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为6． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，过点作斜率不为0的直线交椭圆于不同两点，求证：直线与直线所成的较小角相等． 5．（22·23下·浙江·二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线，分别与y轴交于M，N两点． (1)记直线，的斜率分别为，，求； (2)记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程． 6．（22·23下·长沙·二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．      (1)求k的取值范围； (2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论． 7．（22·23下·浙江·三模）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线. (1)若的坐标为，求证：为的角平分线； (2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值. 8．（22·23·宁德·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，椭圆的右焦点到直线的距离． (1)求椭圆的方程． (2)已知，是椭圆上的两个不同的动点，以线段为直径的圆经过坐标原点．试判断圆与直线的位置关系并说明理由． 9．（22·23·厦门·一模）已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于 (1)求动点的轨迹的方程； (2)经过点和的圆与直线：交于，，已知点，且、分别与交于、.试探究直线是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由. 10．（22·23下·湖北·三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆C上一点． (1)求椭圆C的方程； (2)设是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线与椭圆C分别相交于两点，直线，相交于点N，试求的最大值． 11．（22·23下·武汉·三模）已知椭圆过点，左焦点为． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线，分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线，交于点N，求证：直线的斜率为定值． 12．（22·23下·黄冈·三模）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为．曲线是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设在第一象限且在双曲线上，直线交椭圆于点，直线与椭圆交于另一点．    (1)求椭圆及双曲线的标准方程； (2)设与轴交于点，是否存在点使得（其中为点的横坐标），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 13．（22·23下·