专题05 导数大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）

专题05 导数大题 解题秘籍 1. 导函数与原函数的关系 单调递增，单调递减 2. 极值 （1） 极值的定义 在处先↗后↘，在处取得极大值 在处先↘后↗，在处取得极小值 3. 两招破解不等式的恒成立问题 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 4. 常用函数不等式： ①，其加强不等式； ②，其加强不等式. ③，， 放缩 ， 5. 利用导数证明不等式问题： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可. 6. 证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法： （1）证明（或）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （2）证明（或）（、都为正数）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （3）应用对数平均不等式证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 模拟训练 一、解答题 1．（23·24上·郴州·一模）已知函数. (1)若曲线在处切线与轴平行，求； (2)若在处取得极大值，求的取值范围. 2．（22·23下·烟台·三模）已知函数，其中． (1)讨论方程实数解的个数； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 3．（22·23·广州·三模）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)讨论函数的零点个数． 4．（23·24上·宁波·一模）已知函数（e为自然对数的底数，）. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时， 5．（22·23下·镇江·三模）已知函数. (1)若有两个极值点.求实数的取值范围. (2)在（1）的条件下，求证：. 6．（22·23下·无锡·三模）已知函数. (1)求的极值； (2)求证：. 7．（22·23下·浙江·二模）设，已知函数有个不同零点. (1)当时，求函数的最小值： (2)求实数的取值范围； (3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列. 8．（22·23下·苏州·三模）设函数. (1)从下面两个条件中选择一个，求实数的取值范围； ①当时，； ②在上单调递增. (2)当时，证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大. 9．（22·23下·江苏·三模）已知函数，. (1)若与的图象恰好相切，求实数a的值； (2)设函数的两个不同极值点分别为，（）. （i）求实数a的取值范围； （ii）若不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数） 10．（22·23下·河北·三模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若为函数的导函数，有两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 11．（22·23·深圳·二模）已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 12．（22·23下·长沙·三模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有三个零点，且在处的切线经过点，，求证：. 13．（22·23下·湖南·二模）已知函数． (1)求的最小值； (2)证明：方程有三个不等实根． 14．（22·23下·长沙·二模）已知函数. (1)若函数有两个零点，求实数的取值范围； (2)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”.若时，函数是“恒切函数”，求证：. 15．（22·23下·湖北·三模）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若，在内存在不等实数，使得，证明：． 16．（22·23下·武汉·三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 17．（22·23·保定·二模）已知函数，其中常数，是自然对数的底数． (1)若，求的最小值； (2)若函数恰有一个零点，求a的值． 18．（22·23下·武汉·三模）已知，其中. (1)若，讨论的单调性； (2)已知是的两个零点