专题03 立体几何大题-【考前100天之新高考风向标】备战2024年新高考数学重点专题二轮冲刺复习模考真题演练（新教材新高考）

专题03 立体几何大题 解题秘籍 1. 空间中的平行关系 （1） 线线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 2. 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 （2） 线面垂直的判定定理 一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 （4） 面面垂直的判定定理 一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） （5） 面面垂直的性质定理 两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 3. 异面直线所成角 = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 4. 直线与平面所成角，(为平面的法向量). 5. 二面角的平面角 （，为平面，的法向量）. 6. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 模拟训练 一、解答题 1．（22·23下·湖南·二模）如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点，．    (1)求的长度； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 2．（22·23下·绍兴·二模）如图，在多面体中，平面为正三角形，为等腰Rt. (1)求证：； (2)若平面，求直线与平面所成的线面角的正弦值. 3．（22·23·张家口·三模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 4．（22·23·湛江·二模）如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 5．（22·23下·长沙·三模）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点在上.    (1)若平面，求； (2)若是的中点，求二面角的正弦值. 6．（22·23下·湖北·二模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，内接于，为的一条弦，且平面. (1)求的最小值； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 7．（22·23·深圳·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.    (1)证明：； (2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值. 8．（22·23下·温州·二模）已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 9．（22·23下·浙江·二模）如图，四面体，为上的点，且与平面所成角为， (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值. 10．（22·23下·襄阳·三模）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，在底面的射影为的中点，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 11．（22·23·唐山·二模）如图，在三棱柱中，是等边三角形，侧面底面，且，，M是的中点．    (1)证明：． (2)求二面角的正弦值． 12．（22·23下·盐城·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.    (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离. 13．（22·23下·江苏·三模）如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.    (1)当时，证明：平面； (2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大. 14．（22·23下·镇江·三模）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）. ①与平面所成角相等；②三棱锥体积为；③    (1)平面平面； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 15．（22·23下·江苏·一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值. 16．（22·23下·河北·三模）如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线交于点，且平面是的中点，是线段上一动点．