江西省新余市2023-2024学年高三上学期期末质量检测数学试卷

高三第一次调研考试 数学试题 说明： 1．本卷共有四个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数的定义域为集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 3. 在中，“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A B. C. D. 7. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的表面积等于( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.005 B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75 C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为225 10. 已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则（ ） A. 函数是周期函数 B. 函数为上的偶函数 C. 函数为上的单调函数 D. 函数的图像关于点对称 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若M为的垂心，，则 D. 若，，M为的外心，则 12. 已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（ ） A. 一定不是正方体 B. 外接球的表面积为 C. 长、宽、高的值均属于区间 D. 体积的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若直线与圆相切，则实数_________． 14. 已知正实数x，y满足方程，则的最小值为______． 15. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，杭州亚运会竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项，并增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目.现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、电子竞技、霹雳舞三个项目志愿服务，其中每个项目至少一名志愿者，甲必须在霹雳舞项目，则不同的志愿服务方案共有______种（用数字作答）. 16. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为______． 四、解答题：（本大题共6小题，17题10分，18～22题各12分，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且． （1）求； （2）若为的中点，且，求的面积． 18. 如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面且． （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角的大小． 19. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离. （1）求动点轨迹方程； （2）记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，，直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值. 20. 魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速