专题7 立体几何 7.1 空间几何的结构特征（6大题型+高考真题+最新模拟）-2024年高考数学二轮专题复习（新高考专用）

( 易学优 ) ( 新思维 ) ( 2024年高考数学专题复习 ) ( 专题 7 立体几何 ) ( 7.1 空间几何的结构特征 ) 专题7 立体几何 7.1 空间几何的结构特征 2021年—2023年高考真题分析 考点 年份 考题分布 旋转体的表面积和体积 2023 新高考Ⅱ卷T9；全国乙卷（理）T8； 2021 新高考Ⅰ卷T3；；全国甲卷（文）T14； 多转体的表面积和体积 2023 全国甲卷（文）T10；天津卷T8；新高考Ⅰ卷T14；新高考Ⅱ卷T14 2022 新高考Ⅱ卷T11； 2021 新高考Ⅱ卷T5；天津卷T6； 数学文化和简单几何体 2023 北京卷T9； 2022 新高考Ⅰ卷T4； 2022 新高考Ⅱ卷T7；全国乙卷（理）T9；新高考Ⅰ卷T8； 2021 全国甲卷（理）T11； 内切球问题 2023 新高考Ⅰ卷T12； 立体几何，是高中数学的核心内容之一，是高考的必考内容，是培养数学学科核心素养的重要载体。该部分主要考查学生对转化、划归思考的应用，提升直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 从近几年高考情况来看，立体几何在高考中的比重稳定，题型主要是一大两小的形式，而多面体的几何特征主要在小题中考查，考察内容主要有多面体的体积和表面积、球的内切外接问题，特别是与球有关的内容，试题难度偏大，注重基础知识和运算能力、思维能力的考查，这就要求我们在立体几何的复习中，要重视教材，重视基本功，重视数学的严谨性，重视解决问题的能力，摆脱思维定式，摆脱题海战术。 题型1 旋转体的表面积和体积 例1．（2023·全国乙卷（理）·8）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【对点练1】（2021·全国甲卷（文）·14）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为 . 【对点演练2】（2023·新课标全国Ⅱ·9）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 题型2 多面体的表面积和体积 例2（2023·全国甲卷（文）·10）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【对点练1】（2023·新课标全国Ⅰ·14）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【对点练2】（2023·天津·8）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 题型3 数学文化与简单几何体 例3．（2023·北京·9）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）    A． B． C． D． 【对点练1】（2022·新高考全国Ⅰ·4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ） A． B． C． D． 【对点练2】（2019·新课标Ⅱ（理）·16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ． 题型4 外接球问题 例4 （2022·新高考全国Ⅱ·7）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例5（2022·全国乙卷（理）·9）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【对点练1】（2022·新高考全国Ⅰ·8）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5 内切球问题 例6