6.1 正弦、余弦、正切、余切（第2课时 弧度制）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

第 6 章 三角 2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 6.1 正弦、余弦、正切、余切（第2课时弧度制） 学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 复习回顾： 1.任意角 的概念 正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 1)把角的顶点放在原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 2.象限角 终边落在第几象限就是第几象限角 3 . 终边与 角ａ相同的角 S={β|β=α+k·360°,k∈Z} 情境导入 炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度． 【探究1】 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？ 【提示】角度制的单位有：度、分、秒。 【探究2】1°的角是如何定义的？ 【提示】规定：圆周的圆心角称作1°角。 这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制 . 【探究3】日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80厘米，也可以说长0.8米，显然两种结果出现了不同的数值，那么有没有一种更好的方法去表示角呢？ 【提示】在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度 — 弧度制。 【探究4】在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？ 【提示】无关 【探究5】角度为、的圆心角，半径r=1,2,3时， （1）分别计算相对应的弧长l （2）分别计算对应弧长与半径之比 通过上面的计算，你发现了什么规律？ 【提示】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关； ②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关. 例1.按下列要求 ， 将 ７５° 换算成弧度 ： （ １ ） 精确值 ； （ ２ ） 近似值 ． （ 结果精确到 ０． ００１ ） 典例1 例2. 将 ２． １ 弧度换算成角度 ． （ 用度数表示 ， 结果保留两位小数 ） 典例2 请同学们根据一些常用特殊角的角度与弧度的对应关系 ， 填写下表 ． 度 00 300 450 1200 1350 1500 3600 弧度 1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。 注意： 2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。 正角 负角 零角 正数 负数 0 任意角的集合 实数集R 在弧度和角度的换算过程中 ， 应当注意角度制为 ６０ 进位制 ．例如 ， ３２°１８ ′ 应先换算成 ３２． ３° ， 再换算成弧度 ．在弧度制下 ， 每个角都是一个确定的实数 ， 而每个实数也可以表示一个确定的角 ， 这就构成了角的集合与实数集合之间的一一对应关系 ． 在用弧度制表示角时 ， 通常省略 “ 弧度 ” 两字 ， 只写这个角所对应的弧数 ．例如 ， 角 α 和角 β 的互补关系可以表示为 α ＋ β ＝π ， 而 ｓｉｎ１． ２ 则表示 １． ２ 弧度的角的正弦 ． 引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮 ， 更使微积分中的许多公式变得格外简明 ． 例如 ， 如图 ６-１-５ ， 当扇形的圆心角为 n° ， 而半径为 r时 ， 扇形的弧长l和面积S的公式分别为 在使用弧度制后 ， 圆心角相应的弧度为 因此上述公式可分别简化为 例3. 写出终边在 x 轴上的所有角组成的集合 ． （ 用弧度制表示 ） 解：当角 α 的终边在 x轴正半轴上时 ， α ＝２ k π ， k∈Z ； 而当角 α 的终边在 x轴负半轴上时 ， α ＝２ k π＋π ， k∈Z． 所以 ， 所求的角的集合为 ｛ α ｜ α ＝ k π ， k ∈Z ｝ 典例3 解 　 因为 α 是第二象限的角 ， 所以 从而有 （ １ ） 当 k为奇数时 ， 设 k ＝２ n ＋１ ， n∈Z ， 就有 （ ２ ） 当 k为偶数时 ， 设k＝2n ， n∈Z ， 就有 典例4 例５ 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求 扇形的中心角. 根据题意: ① ② 分析:要求中心角,根据公式 ,需求弧长l及半径R. 解 　 设扇形的中心角的弧度数为 , 弧长为l,半径为R, 由①得