6.3利用导数解决实际问题（分层练习，5大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

6.3利用导数解决实际问题 分层练习 题型一 利润最大问题 1．（多选）（2023上·浙江宁波·高二余姚中学校考阶段练习）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（    ）（注：；利润可为负数） A．利润随着瓶子半径的增大而增大 B．半径为6cm时，利润最大 C．半径为2cm时，利润最小 D．半径为3cm时，制造商不获利 2．（2024上·江苏南京·高二校联考期末）某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元． 3．（2023上·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额-成本）． (1)将利润（元）表示为产量的函数； (2)当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？ 4．（2023上·江苏·高二专题练习）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； (2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 题型二 面积最大问题 1．（2023下·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平､现代化､开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（    ）        A．2 B． C． D． 2．（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）在函数的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形ABCD，则可作矩形的最大面积为（    ）    A． B． C． D．27 3．（2023上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）如图所示，某小区有一半径为，圆心角为的扇形空地.现欲对该地块进行改造，从弧上一点向引垂线段，从点向引垂线段.在三角形三边修建步行道，则步行道长度的最大值是 .在三角形内修建花圃，则花圃面积的最大值是 .    4．（2023上·江苏·高二专题练习）将一段长为的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？ 题型三 体积最大问题 1．（2023上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）如图，在边长为的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知正四棱锥内接于表面积为的球，则此四棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·湖南·高二湖南师大附中校考期末）用总长为的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？ 4．（2024上·上海·高二上海师大附中校考期末）（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积； （2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.      题型四 成本最小问题 1．（2023上·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，