2024年中考数学高频考点突破——二次函数与特殊的三角形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与特殊的三角形 1．如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； (3)如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线和抛物线交于点，，且抛物线的对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在第四象限的抛物线上，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)点是直线上方抛物线上的一动点，当点在何处时，点到直线的距离最大，并求出最大距离． 3．综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．    (1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式； (2)当是以为斜边的直角三角形时，求出n的值； (3)直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．    (1)求抛物线及直线的表达式； (2)过点P作，垂足为点N．求线段的最大值； (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点．连接，以为边，点O为中心作菱形，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点，交于点．    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点在线段上运动时，试探究：当为何值时，四边形是平行四边形？请说明理由． 6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t． (1)若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线y＝ax2x＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（﹣1，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACES△ABC，求E的坐标； (3)若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标． 8．已知，如图，抛物线y＝﹣（x﹣2）2＋8与x轴分别交于B，C两点（点C在点B的左边），与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． (1)求A、B、C三点坐标； (2)求直线AB的解析式； (3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点． (1)求二次函数的关系式； (2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D． ①在线段MB上是否存在点P，使△PCD的面积最大．如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由； ②在线段MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点． （1）求a，b，c的值； （2）连接PA、PC、AC，求面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图1所示，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x轴交于A(-1，0)和B两点，与y轴交于C点，直线AD交抛物线于点D（4，5）． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c和直线AD的解析式； （2