2024年九年级中考数学复习 二次函数之等腰三角形存在性问题

2024年九年级中考数学复习 二次函数之等腰三角形存在性问题 1．如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，并且与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)直线BC的解析式为 ； (3)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值； (4)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证明；如果不存在，说明理由． 2．如图所示，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，其中点的坐标是，顶点为点，连接，抛物线的对称轴与轴相交于点．      (1)求的值； (2)求的度数； (3)在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点，使得是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．综合与实践 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是直线下方抛物线上一点，设点的横坐标为．过点作，交于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长度最大时，求线段的最大值，并写出此时点的坐标； (3)连接，试探究，在点运动的过程中，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段所在直线的解析式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，n）两点，且抛物线经过点C（5，0）． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，设点P的横坐标为m． ①求线段PE长的最大值，并求此时P点坐标； ②是否存在点P使为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 6．抛物线过点，点，顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，点P在抛物线上，连接并延长交x轴于点D，连接，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段上（与点A，C不重合）的动点，连接，作，边交x轴于点F： ①求证： ②的长度是否有最大值？如果有，求出该最大值；如果没有，请说明理由． 7．如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标； （3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．    8．如图，对称轴为x=1的抛物线经过A（﹣1，0），B（4，5）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）P为直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q． ①当PQ=6时，求点P的坐标； ②是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点(点B在y轴上)，与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)连接，求 (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； (3)如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标． 12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向