广东省中山市2024届高三第一次调研数学试卷

中山第一中学2024届高三第一次调研 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A B. C. 1 D. 4. 已知向量，，满足，，，则的最大值等（ ）． A. B. C. D. 5. 已知等差数列，前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，） A. 20 B. 16 C. 12 D. 7 7. 已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ） A. 的长度为 B. 的长度为 C. 的长度为 D. 的长度为 8. 已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ） A. B. 1 C. 16 D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，得部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知事件A，B相互独立事件，且，则（ ） A. B. C D. 10. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线垂直 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递增 11. 已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，过点作斜率为的直线l与C的上支交于M，N两点（点M在第一象限），A为线段的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（ ） A. B. C. 可以是直角 D. 直线OA的斜率为 12. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 中常数项是________．（写出数字） 14. 已知数列，，则在数列的前50项中最大项是第________项. 15. 设、是椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点，曲线、在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是______. 16. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，求的面积. 19. 如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点． （1）若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小； （2）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点P的位置． 20. 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等． （1）封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望； （2）封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求． 21. 已知椭圆的方程为（），离心率为，点在椭圆上.其左右顶点分别为、，左右焦点分别为、. （1）求椭圆的方程； （2）直线过轴上的定点（点不与、重合），且交椭圆于、两点（，），当满足时，求点的坐标. 22. 已知函数. （1）当时，讨论极值点的个数； （2）讨论函数的零点个数的情况. 中山第一中学2024届高三第一次调研 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【