专项训练－方程思想解题技巧荟萃课件2023-2024学年人教版八年级数学下册

方程思想解题技巧荟萃 八年级数学（下）专项训练 　　所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决. ⁠ ⁠如图，AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长. ⁠ 方法：此题用代数方法解较好.可设AB，AC的长分别为x cm，y cm，已知AB比AC长2 cm，只需再找到AB与AC的另一个等量关系即可列出二元一次方程组. 解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC. ∵AC＋AD＋DC＝14 cm， ∴AC＋AD＋DB＝14 cm，即AC＋AB＝14 cm. 设AB＝x cm，AC＝y cm，则 解得∴AB＝8 cm，AC＝6 cm. 应用1：方程思想在证三角形形状中的应用 1.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F. (1)若∠BAC＝90°，求AE的长； (1)【解】如图，连接CE. 设AE＝x，∵AB＝4， ∴BE＝4－x. ∵DE是BC的垂直平分线， ∴CE＝BE＝4－x. ∵∠BAC＝90°，AC＝3，∴AE2＋AC2＝CE2， 即x2＋32＝(4－x)2，解得x＝.即AE＝. (2)若DF＝0.7，求证：△ABC为直角三角形. 【证明】∵DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD. 设BD＝y，则CD＝y. ∵DF＝0.7，∴BF＝y＋0.7，CF＝y－0.7. ∵AF⊥BC，∴AB2－BF2＝AF2，AC2－CF2＝AF2. ∴AB2－BF2＝AC2－CF2， 即42－(y＋0.7)2＝32－(y－0.7)2， 解得y＝2.5，即BD＝CD＝2.5. ∴BC＝5. ∵32＋42＝52，∴AC2＋AB2＝BC2. ∴△ABC为直角三角形. 应用2：方程思想在求阴影部分的面积中的应用 2.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处.已知CE＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分的面积. 【解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠ECF＝∠ABF＝90°. 由折叠可知，AF＝AD，EF＝DE＝CD－CE＝AB－CE＝8－3＝5(cm). ∵在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2，∴CF＝4 cm. 设BF＝x cm， 则AF＝AD＝BC＝BF＋CF＝(x＋4)cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2，即82＋x2＝(x＋4)2，解得x＝6，即BF＝6 cm. ∴阴影部分的面积为S△ABF＋S△ECF＝AB·BF＋CE·FC＝×8×6＋×3×4＝30(cm2). 应用3：方程思想在探究线段相等的条件中的应用 3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7 cm，AC＝25 cm.点P从点A沿AB方向以1 cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6 cm/s的速度运动至点C，P，Q两点同时出发. (1)求BC的长； 【解】(1)∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7 cm，AC＝25 cm， ∴BC＝＝＝24(cm). (2)当运动2 s时，求P，Q两点之间的距离； 【解】如图，连接PQ.当运动2 s时，AP＝1×2＝2(cm)，BQ＝6×2＝12(cm). ∴BP＝AB－AP＝7－2＝5(cm). 在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ2＝BP2＋BQ2＝52＋122＝132，∴PQ＝13 cm. 即P，Q两点之间的距离为13 cm. (3)当P，Q两点运动几秒时，AP＝CQ？ 【解】设当P，Q两点运动t s时，AP＝CQ，则AP＝t cm，BQ＝6t cm. ∴CQ＝BC－BQ＝(24－6t)cm. 由AP＝CQ得t＝24－6t，解得t＝. ∴当P，Q两点运动s时，AP＝CQ. 应用4：方程思想在求线段长中的应用 4.[2023·随州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝ 　5　⁠. 5　 【点拨】 　　如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵∠C＝90°，∴CD⊥BC. ∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC， DE⊥AB，∴CD＝DE. 在Rt△BCD和Rt△BED中， ∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL). ∴BE＝BC＝6. 在Rt△ABC中， ∵AC＝8， ∴AB＝＝＝10. ∴AE＝AB－BE＝10－6＝4. 设CD＝DE＝x，则AD＝AC－CD＝8－x. 在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2， ∴42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3. ∴AD＝8－x＝5. 应用5：方程思想在求几何中函