数形结合思想在解题中的应用训练 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

人教版八年级下 数形结合思想在解题中的 应用训练 八年级数学(下)专项训练 所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义,并结合其几何图形,使数量与空间形式和谐结合在一起的方法.通过对“以形助数”和“以数辅形”这两大题型的具体分析,揭示出“数”与“形”之间的紧密关系,从而把问题优化,获得解决. 应用1:实数与数轴上的点的对应关系在求值中的应用 1.如图,数轴上表示1,的点分别为A,B,C为点B关于点A的对称点,设点C所表示的数为x. (1)求实数x的值; 【解】由题意得=1,解得x=2-. (2)求(x+)2的值. 【解】当x=2-时,(x+)2=4. 应用2:直角三角形三边关系与在数轴上表示实数的综合应用 2.(1)如图①,每个小正方形的边长表示1,在图①中画出一个面积是2的直角三角形和一个面积是2的正方形(直角三角形和正方形的顶点都为格点,给画出的两个图形涂上阴影). 【解】如图①所示.(直角三角形的画法不唯一) (2)如图②,请作出-和在数轴上对应的点的位置. 【解】如图②,-和在数轴上对应的点分别是点A和点B. 应用3:三角形三边的数量关系在直角三角形中的应用 3.[2023 永州]如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5. (1) AOB是直角三角形吗?请说明理由; 【解】 AOB是直角三角形.理由如下: ∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8,∴OB=OD=BD=4. ∵OA=3,OB=4,AB=5,∴OA2+OB2=AB2. ∴ AOB是直角三角形,且∠AOB=90 . (2)求证:四边形ABCD是菱形. 【证明】由(1)可知,∠AOB=90 . ∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形. 应用4:特殊三角形的性质在解动点问题中的应用 4.如图,在Rt ABC中,∠ABC=90 ,AB=20,BC=15,点D为AC边上的动点,点D从点C出发,沿边CA往点A运动,当运动到点A时停止,设点D运动的时间为t s,速度为每秒2个单位长度. (1)当t= 4.5或12.5 时, CBD是直角三角形; 4.5或12.5 (2)若 CBD是等腰三角形,求t的值. 【解】在Rt ABC中,∠ABC=90 ,AB=20,BC=15,∴AC===25. ①当CD=BC时,CD=15,∴t=15 2=7.5. ②当CD=BD时,∠C=∠DBC, ∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90 , ∴∠A=∠DBA.∴BD=AD.∴CD=AD=AC=12.5. ∴t=12.5 2=6.25. ③当BD=BC时,如图,过点B作BF⊥AC于点F. 根据等腰三角形三线合一的性质可得CF=DF,即CD=2CF. 易知BF=12,∴CF===9. ∴CD=2CF=2 9=18.∴t=18 2=9. 综上所述,当t=7.5或6.25或9时, CBD是等腰三角形. 应用5:数与形的关系在解实际问题中的应用 5.某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”,把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”,学生们在课堂上学习理论之余,还可以到“试验田”实际操练.对生物的发展规律有了更为直观的认识,如图,四边形ABCD是规划好的“试验田”,经过测量得知:∠B=90 ,AB=24 m,BC=7 m,CD=15 m, AD=20 m. (1)判断∠D是不是直角,并说明理由; 【解】∠D是直角.理由: 如图所示,连接AC, 在Rt ABC中,AB=24 m,BC=7 m, ∴AC==25(m). 在 ADC中,CD=15 m,AD=20 m,AC=25 m, ∵CD2+AD2=152+202=252=AC2, ∴ ADC为直角三角形,且∠D=90 .∴∠D是直角. (2)求四边形ABCD的面积. 【解】∵S ADC= AD DC= 20 15=150(m2), S ABC= AB BC= 24 7=84(m2), ∴S四边形ABCD=S ADC+S ABC=150+84=234(m2). 应用6:数与形的关系在解折叠问题中的应用 6.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点F处,FC交AD于点E.若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积. 【解】∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,∠B=∠D=90 . ∵将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点F处, ∴∠F=∠B=90 ,AB=AF,BC=CF. ∴AF=CD,∠F=∠D. 在 AFE和 CDE中 ∴ AFE≌ CDE(AAS).∴FE=DE. 已知AB=CD=4,BC=CF=8,在Rt CDE中,由勾股定理得DE2+CD2=CE2,即DE2+42=(8-DE)2,解得DE=3.∴FE=3. ∴图中阴影部分的面积=S ACF-S